2020　横浜市立大　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(1)　方程式

$x^4-8x^3+17x^2-8x+1=0$

を解きなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(2)　$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を平面上のベクトルとします．$3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$と$2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$がともに単位ベクトルであるとき，ベクトル$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$の大きさ$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$の最大値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(3)　座標平面上で運動する点が，$x$座標か$y$座標の少なくとも一方は整数である点のみを通って，原点$(0,0)$から点$(6,4)$まで最短の道のりで移動することを考えます．ただし，点$(4,2)$は通らないこととします．このとき，移動する道順は何通りあるか求めなさい．

【１】　　以下の問いに答えなさい．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(4)　$2$つの袋$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$それぞれに，赤玉$1$個，白玉$3$個の合計$4$個ずつの玉が入っています．袋$\mathrm{A}$と袋$\mathrm{B}$から同時に，無作為に$1$つずつの玉を取り出し，それらの玉を交換して袋に戻すことを繰り返します．$n$を自然数とするとき，$n$回目の交換の後，袋$\mathrm{A}$の中に赤玉がちょうど$1$個入っている確率を$n$を用いて表しなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)

${\left({\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}}$

の値を求めなさい．

(2)　$\sqrt{2}$が無理数であることを証明しなさい．

(3)　$x^y$の値が有理数になる無理数の組$(x,y)$が存在することを証明しなさい．

【３】　正五角形$\mathrm{ABCDE}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とします．また，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{M}$とします．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$\mathrm{BC}=\mathrm{MC}$であることを証明しなさい．

(2)　${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}}$の値を求めなさい．

(3)　$\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{5}}$の値を求めなさい．

(4)　${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{OA}}}$の値を求めなさい．

(5)　$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}}$の値を求めなさい．

【４】　以下の問いに答えなさい．

(1)　$n$を$2$以上の自然数とするとき，関数${\displaystyle \frac{\cos x}{{\sin }^{n}x}}$の導関数を求めなさい．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\sin x}}$を求めなさい．

(3)　$n$を$3$以上の自然数とするとき，部分積分法を用いて

${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{n}x}}\mathit{dx}={\displaystyle \frac{1}{1-n}}({\displaystyle \frac{\cos x}{{\sin }^{n-1}x}}+{\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{{\sin }^{n-2}x}})$

が成り立つことを証明しなさい．

(4)　定積分${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{3}x}}\mathit{dx}$の値を求めなさい．

【５】　ある試行を$1$回行ったとき，事象$A$の起こる確率を$p$$\text{（}0\leqq p\leqq 1\text{）}$とします．この試行を$n$回反復します．$n$は自然数です．$X_i$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}$$，\cdots$$n\text{）}$を「$i$回目の試行で事象$A$が起きた場合に値$100\text{，}$起きなかった場合に値$50$をとる確率変数」とします．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$X_i$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n\text{）}$の確率分布を表で示しなさい．

(2)　$X_i$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n\text{）}$の平均と分散を求めなさい．

(3)　確率変数$Y=X_1+X_2+\cdots +X_n$と$Z=100n-(X_1+X_2+\cdots +X_n)$を考えます．また，$W=YZ$とします．このとき，

(ア)　$Y$の平均と分散を求めなさい．

(イ)　$W$を$Y$の関数として表し，$W$の平均を求めなさい．

(ウ)　$W$の平均が最も大きくなるような確率$p$と，そのときの$W$の平均を求めなさい．