2020　公立小松大　前期MathJax

【１】　$a$を正の定数とする．複素数$z$が等式$|z-a|=1$を満たすとき，複素数$w={\displaystyle \frac{1}{z}}$もつねに等式$|w-a|=1$を満たすという．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　$w$の偏角$\theta$のとりうる値の範囲を求めよ．ただし，$-\pi \leqq \theta <\pi$とする．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$3$点$\mathrm{A}$$(0,1,3)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,0,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(1,2,0)$に対し，線分$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$t$を用いて成分で表せ．

(2)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{P}$を通る直線$l$と$xy$平面との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$t$で表せ．

(3)　線分$\mathrm{AQ}$と線分$\mathrm{BC}$が垂直であるとき，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=x^3-6x^2+9x$の極値を調べ，この関数のグラフの概形を図示せよ．

(2)　$k$を実数とする．方程式$x^3-6x^2+9x=k$が，異なる$3$つの実数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．また，このときの$3$つの解のうち最大のものを$\alpha$とおく．$\alpha$のとりうる値の範囲を求めよ．

【４】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に，曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$と，$C$上の点$\mathrm{A}$$(0,1)$を通る傾き$m$の直線$l$がある．ただし，$m<0$とする．

(1)　直線$l$が曲線$C$と接するときの$m$の値を$m_0$とし，接点の座標を$(x_0,y_0)$とする．$m_0$と$(x_0,y_0)$を求めよ．

(2)　$m_0$および$x_0$を(1)で求めたものとし，$m_0<m<0$とする．直線$l$が点$\mathrm{A}$以外で曲線$C$と交わる点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とし，それらの$x$座標をそれぞれ$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha <\beta \text{）}$とする．また，$\mathrm{▵POQ}$の面積を$S$とし，曲線$C$と$2$直線$x=\alpha \text{，}$$x=\beta$および$x$軸とで囲まれた図形の面積を$T$とする．

(ⅰ)　$\alpha \text{，}$$\beta$を$m$を用いて表し，$\underset{m\to m_0}{\lim }\alpha =x_0\text{，}$$\underset{m\to m_0}{\lim }\beta =x_0$が成り立つことを示せ．

(ⅱ)　$S$を$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表せ．

(ⅲ)　${\displaystyle \frac{\beta -\alpha }{1+{\beta }^2}}<T<{\displaystyle \frac{\beta -\alpha }{1+{\alpha }^2}}$が成り立つことを示せ．

(ⅳ)　$\underset{m\to m_0}{\lim }{\displaystyle \frac{T}{S}}$を求めよ．