2020　長野大学(公立)　中期MathJax

1．並べたカードの列が文字として逆さ文字にならないときの確率を求めなさい．

2，並べたカードの列が訓令式*のローマ字として読める語句となる確率を求めなさい．

(*)　訓令式のローマ字とは，国際標準化機構（ISO）が採用した日本語のローマ字のことである．例えば，訓令式のローマ字では「ちゃ」は「$\mathrm{CHA}$」ではなく，「$\mathrm{TYA}$」と表現する．

3．並べたカードの列が$\mathrm{TOKYO}$となる確率を求めなさい．

1．$a$を$\cos \theta$で表しなさい．

2．${\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta =a$が$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 180\mathrm{°}$で解を持つように実数$a$の範囲を求めなさい．

1．それぞれの円の中心${\mathrm{O}}_1\text{，}$${\mathrm{O}}_2$を通る直線が点$\mathrm{A}$を通ることを証明しなさい．

2．三角形$\mathrm{A}{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$と三角形$\mathrm{A}{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2$が相似であることを証明しなさい．

3．$2$つの円の共通接線のうち，$\mathrm{A}$を通らないものを$l$とする．$l$と$2$つの円との接点をそれぞれ，${\mathrm{B}}_1\text{，}$${\mathrm{B}}_2$とするとき，${\mathrm{B}}_1$と${\mathrm{B}}_2$の距離$d$を$r$と$R$で表しなさい．

1．$20\mathrm{XX}$年の夏季オリンピックの開催地は，$\mathrm{IOC}$総会における$\mathrm{IOC}$委員（以下，委員という．）$94$人による$1$人$1$票の投票によって決定される．投票は，全委員が$3$都市のいずれかに投票するものとし，その結果，獲得投票数（以下，「票数」という．）が過半数の都市があれば，その都市が開催地に決定する．そして，どの都市の票数も過半数に満たない場合には，$1$回目の投票終了時点で票数の多い$2$都市で$2$回目の投票を行う．$\mathrm{P}$市の票数を$x$票，$\mathrm{Q}$市の票数を$y$票，$\mathrm{R}$市の票数を$z$票とし，$x\text{，}$$y\text{，}$$z$が次の条件を満たすとする．

(ア)　どの都市の票数も総数の$4$分の$1$以上であった．

(イ)　$y+z<1.5x$

(ウ)　$y>z$

このとき，$1$回目の投票で過半数の票を獲得した都市がなかったことを証明しなさい．

2．1．において，$2$回目の投票に残った$2$都市を答えなさい．

3．$1$回目に過半数の票数の都市がなかったので，票数の多い上位$2$都市で$2$回目の投票を行った．ここでの投票は前述の投票と同様に，全委員が$2$都市のいずれかに投票する．$1$回目の投票における$1$位の都市の，$2$回目の投票での票数を$u$票，$1$回目の投票における$2$位の都市の，$2$回目の投票での票数を$v$票とする．$u$と$v$が次の条件を満たすとき，オリンピックの開催地に決定した都市を答えなさい．

(エ)　$1$回目の投票で$1$位の都市に投票した委員の$8$割が$1$位の都市に，$2$位の都市に投票した委員の$8$割が$2$位の都市に$2$回目の投票で投票した．

(オ)　$1$回目の投票で$3$位になった都市に投票した委員の$9$割以上が$2$位の都市に$2$回目の投票で投票した．