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2020 岐阜薬科大学 中期

易□ 並□ 難□

【1】  a は実数の定数とし, 2 次関数 f (x) =-3x 2+4a x a -1<x<a +1 の最小値を m (a) 最大値を M (a) とする.

(1)  m( a) を求め, b=m (a) のグラフを a b 平面上にかけ.

(2)  M(a )-m (a) を求め, b=M( a)-m (a) のグラフを a b 平面上にかけ.また, M(a )-m (a) の最小値を求めよ.

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【2】  xy 平面において,原点 O 以外の点 P (x,y ) に対して,半直線 OP 上に OP OQ=4 を満たす点 Q (s,t ) をとる.

(1) 点 P (x, y) の座標 x y を,点 Q (s,t ) の座標 s t を用いて表せ.

(2) 点 P が直線 x+ 2y=5 上を動くとき,点 Q の軌跡を求め x y 平面上に図示せよ.

(3)  (x- 1)2 +(y -2)2 <5 かつ x+2 y<5 を満たす領域を D とする.点 P が領域 D 上を動くとき,点 Q の動く領域を求め x y 平面上に図示せよ.

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【3】  P(x )=x5 -6x 4+13x 3-12 x2+4 x とし,曲線 y2 =P( x) で囲まれる領域の面積を S とする.ただし, x y は実数とする.

(1)  P( x) を因数分解せよ.

(2) 曲線 y2 =P( x) の概形を x y 平面上にかけ.その際, x の変化に対する y の増減を調べよ.なお, y の極値は求めなくてよい.

(3)  S を求めよ.

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【4】  n+1 個の箱があり,これらには 0 番の箱, 1 番の箱, k 番の箱, n 番の箱という名前がついている.ただし n は自然数とし,これら n+1 個の箱は,外から見たときには区別がつかないものとする.また, k 番の箱には, k 個の赤玉と n- k 個の白玉が入っている. A さんは,これら n+ 1 個の箱から無作為に 1 個の箱を選んだ.選んだ箱を X とし,以後,この箱 X において次の操作を何回も繰り返した.

操作:箱 X から無作為に 1 個の玉を取り出し,取り出した玉の色を確認してから,その玉を箱 X に戻す.

(1)  1 回目の操作で取り出した玉が赤玉である確率を求めよ.また, 1 回目の操作で取り出した玉が赤玉であったとき,箱 X k 番の箱である確率を, n k を用いて表せ.

(2)  1 回目, 2 回目の操作で取り出した玉が,いずれも赤玉である確率を, n を用いて表せ.

(3)  1 回目の操作で取り出した玉が赤玉であったとき, 2 回目の操作で取り出した玉も赤玉である確率を, n を用いて表せ.

(4)  1 回目から m 回目までの操作で取り出した玉がいずれも赤玉であったとき, m+1 回目の操作で取り出した玉も赤玉である確率を pm (n ) とする. limn pm (n ) を, m を用いて表せ.

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【5】 原点を O とする x yz 空間に, 3 A (3,1 ,2) B (5,- 5,-2 ) C (1,- 3,4) がある.また, 2 A B を直径の両端とする球面を S とし, 3 O A C を含む平面を α とする.

(1) 球面 S の方程式を求めよ.

(2) 直線 AC と球面 S の交点のうち,点 A とは異なる点 D の座標を求めよ.

(3) 点 B から平面 α に下ろした垂線を BH とする.点 H の座標を求めよ.

(4)  cos∠ADH を求めよ.また,球面 S と平面 α が交わってできる円の直径を求めよ.

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