2020　名古屋市立大　後期MathJax

【１】　座標平面において，点$\mathrm{P}$$(\sin 2\theta ,\cos \theta )$をとる．ただし$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．点$\mathrm{P}$を通り，頂点が原点であるような放物線を$C$とする．また，点$\mathrm{P}$における放物線$C$の接線を$l$とする．次の問いに答えよ．

(1)　放物線$C$の方程式を求めよ．また，接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　放物線$C$と接線$l$および$x$軸で囲まれた部分の面積を$S$とする．$t=\sin \theta$とおく．$S$を$t$で表せ．また，$\theta$が$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，$S$の最大値を求めよ．

【２】　空間内に四面体$\mathrm{OABC}$があり，$\mathrm{OA}=1\text{，}$$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=\mathrm{\angle BOC}=\mathrm{\angle COA}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$とする．点$\mathrm{O}$から$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が作る平面に垂線を引き，垂線と平面の交点を$\mathrm{H}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{CA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$を用いて表せ．

(3)　直線$\mathrm{CH}$と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{M}$とする．長さの比$\mathrm{AM}:\mathrm{BM}\text{，}$$\mathrm{CH}:\mathrm{HM}$を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}\text{，}$$\{c_n\}$を次のように定める．

また，$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の最初の$7$項は右の表のようになる．

　$\{b_n\}$について，値が同じ複数の項を$1$つの群として扱う．例えば，$b_1=b_2=3$であるので$b_1$と$b_2$は第$1$群にある．同様に，$b_3=b_4=b_5=b_6=9$であるので$b_3\text{，}$$b_4\text{，}$$b_5\text{，}$$b_6$は第$2$群にある．

　次の問いに答えよ．

(1)　第$k$群の初項が第$m$項であるとする．$a_m$および$b_m$を$k$で表せ．

(2)　第$k$群にある$\{b_n\}$の項の数を$k$で表せ．

(3)　$p$を正の整数とするとき，$S_{2p}$を$p$で表せ．

(4)　$S_n>1000$となる最小の$n$の値を求めよ．

【４】　ある工場の点検作業は，$m$種類の項目で構成されている．全項目を$1$回ずつ実施する作業計画をたてる．作業期間は$n$日間$\text{（}m\geqq n\text{）}$とし，それぞれの日で実施する項目の割り当てを次の条件(a)，(b)，(c)，(d)のもとで作成する．

(a)　開始した項目はその日のうちに実施し終える．

(b)　いずれの日も少なくとも$1$種類の項目は実施する．

(c)　それぞれの項目は$1$種類ずつ順番にしか実施できない．

(d)　$1$日に複数種類の項目を実施するとき，その順番が違う場合は異なる作業計画とする．

例えば，$m=3\text{，}$$n=2$のとき，以下の表の作業計画$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$はすべて異なる．

　次の問いに答えよ．

(1)　$m=6\text{，}$$n=5$のとき，条件を満たす作業計画は何通りあるか．

(2)　$m=6\text{，}$$n=5$のとき，条件を満たし，かつ$3$日目終了時点でちょうど$3$種類の項目を実施し終える作業計画は何通りあるか．

(3)　$m=50\text{，}$$n=5$のとき，条件を満たす作業計画の中から$1$つを無作為に選ぶ．$3$日目終了時点でちょうど$k$種類の項目$\text{（}3\leqq k\leqq 48\text{）}$を実施し終える作業計画が選ばれる確率を$p$とする．$k$を変化させたときの$p$の最大値を求めよ．

【１】　座標平面において，点$\mathrm{P}$$({\displaystyle \frac{\sin \theta }{e^{\theta }}},{\displaystyle \frac{\cos \theta }{e^{\theta }}})$をとる．ただし$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．点$\mathrm{P}$を通り，頂点が原点であるような放物線を$C$とする．また，点$\mathrm{P}$における放物線$C$の接線を$l$とし，放物線$C$と接線$l$および$x$軸で囲まれた部分の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)　放物線$C$の方程式を求めよ．また，接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$S$を$\theta$で表せ．また，$\theta$が$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，$S$の最大値を求めよ．