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2020 滋賀県立大学 前期

工,環境科学部

易□ 並□ 難□

【1】  a を実数とする.曲線 Cy =x2-2 ax+a 2-a+2 と直線 ly =2x-1 は異なる 2 点で交わるとする.

(1)  a の値の範囲を求めよ.

(2)  C l の交点のうち x 座標の小さい方を P とする. P x 座標の最小値とそのときの a の値を求めよ.

(3)  C l 2 つの交点がともに x3 の範囲にあるとき, a の値の範囲を求めよ.

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工,環境科学部

易□ 並□ 難□

【2】 各辺の長さが 1 の正四面体 OABC を考える. OA= a OB= b OC= c とおいたとき,点 D OD =k( a+b +c ) を満たす.ただし, 0<k< 13 とする.

(1) 内積 a b および | a+b +c |2 の値を求めよ.

(2)  AD を, a b c および k を用いて表せ.

(3)  |AD | 2 k を用いて表せ.

(4) 辺 OA s:1- s に内分する点を P BC t:1 -t に内分する点を Q とする. D は線分 PQ u:1 -u に内分しているとする.ただし, 0<s<1 0<t<1 0<u<1 とする.

(ア)  t の値を求めよ.また, s u をそれぞれ k を用いて表せ.

(イ) 線分 PQ の長さが最小になるときの k の値を求めよ.また,このときの | AD | および | OD | の値を求めよ.

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工,環境科学部

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【3】 動点 P は,次の手順(ⅰ)から手順(ⅲ)に従って ▵ABC の頂点から頂点へ移動する.最初に P は頂点 A にあるとする.

手順(ⅰ)  1 から 5 までの整数が 1 つずつ書かれた 5 枚のカードから 1 枚を無作為に引く.

手順(ⅱ) 引いたカードに書かれた数だけ, P は反時計まわりに移動する.例えば, P B にある状態で 4 が書かれたカードを引いたとき, P は反時計まわりに BC A BC と移動する.

手順(ⅲ)  P が移動した後に引いたカードを元に戻す.

(ⅰ)から(ⅲ)の手順を n 回行った後に P A にある確率を an とする.ただし, n は自然数である.

(1)  a1 を求めよ.

(2) (ⅰ)から(ⅲ)の手順を n 回行った後に, P B にある確率を bn C にある確率を cn とする. an+1 を, an bn および cn を用いて表せ.

(3)  an+1 an を用いて表せ.さらに, an n を用いて表せ.

(4)  Sn= k=1 nak を求めよ.また,極限 limn Sn2n -1 を求めよ.

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【4】  θ を実数とする.

(1) 関数 t=cos θ+sin θ を考える.

(ア)  t の値の範囲を求めよ.

(イ)  cosθ sinθ t を用いて表せ.

(ウ)  cos2θ -sin2 θ t と導関数 dt を用いて表せ.

(2) 関数 y=( cosθ+sin θ+1) sin2θ の最大値と最小値を求めよ.

(3) 定積分 I= -π4 π4 cos2 θsin2 θ2+cos θ+sinθ を求めよ.

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