2020　京都府立大学　前期MathJax

【１】　$x\text{，}$$y$を$0$でない有理数とする，$z+{\displaystyle \frac{1}{y}}$と$y+{\displaystyle \frac{2}{x}}$が自然数のとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$x>0\text{，}$$y>0$であることを示せ．

(2)　$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$のとき$x$の値をすべて求めよ．

(3)　$z$と$y$の組$(x,y)$をすべて求めよ．

【２】　$p$を$0$でない実数とする．$a_1=1$とする．数列$\{a_n\}$に対して，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^{=}{a}_k}$が

$S_{n+1}=p{S}_n+n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}$$a_3$を$p$を用いてそれぞれ表せ．

(2)　$n\geqq 2$のとき，$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．

(3)　数列$\{S_n\}$の一般項を求めよ．

【３】　$s$を$0$でない実数とし，$-5<t<7$とする．$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間内に$4$点$\mathrm{A}$$(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,1,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,1)\text{，}$$\mathrm{P}$$(s,t,{\displaystyle \frac{9}{s}})$がある．$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$は$\alpha$上にないことを示せ．

(2)　$\mathrm{P}$から$\alpha$に垂線$\mathrm{PH}$を下ろす．点$\mathrm{H}$の座標を$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

(3)　$q$を実数とする．点$\mathrm{Q}$$(0,q,0)$と$\mathrm{P}$を通る直線が$\alpha$と直交するときの$s$の値をすべて求めよ．

【４】　$p$を実数とする．$xy$平面上に曲線$C_1\text{：}y=4-x^2\text{，}$曲線$C_2\text{：}y=x^3-x+p$がある．以下の問いに答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$の共有点が$2$個のとき，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を$S$とする．$p$と$S$の組$(p,S)$をすべて求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$が$x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$で共有点をもつとき，$C_1$と$C_2$で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$k$を実数とするとき，方程式$|x^2-8x|=k+2$の実数解の個数を調べよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　自然数$N$は$5$進法で${\mathit{abc}}_{(5)}\text{，}$$6$進法で${\mathit{cba}}_{(6)}$と表される．このとき，$N$を$10$進法で表せ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　$7$人の身長（単位は$\mathrm{cm}$）が，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$164\text{，}$$172\text{，}$$174\text{，}$$176$で，この$7$人の身長のデータの中央値は$173\text{，}$平均値は$172\text{，}$標準偏差は$\sqrt{14}$であった．このとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めよ．ただし，$a<b<c$とする．

【２】　$n$を$3$以上の自然数とする．半径$1$の円に内接する正$n$角形の面積を$S_n\text{，}$外接する正$n$角形の面積を$S_n^{\prime }$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$S_n$を$n$を用いて表せ．

(2)　$S_n^{\prime }$を$n$を用いて表せ．

(3)　$S_{12}$の値を求めよ．

(4)　$3<\pi <3.22$を証明せよ．ただし，$1.7320<\sqrt{3}<1.7321$である．

【３】　$t$を正の実数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}$$(2,2,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-1,1,2)\text{，}$$\mathrm{C}$$(2t-2,t-2,t+2)$がある．線分$\mathrm{AB}$を$t:(1+t)$に外分する点を$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{C}$と点$\mathrm{D}$を直径の両端とする球面を$S$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{D}$の座標を$t$を用いて表せ．

(2)　球面$S$上に点$\mathrm{A}$があるとき，$t$の値を求めよ．

(3)　球面$S$上に点$\mathrm{A}$があるとき，点$\mathrm{A}$で球面$S$と接する平面を$\alpha$とする．平面$\alpha$と$y$軸の交点を$\mathrm{P}\text{，}$平面$\alpha$と$z$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{▵OPQ}$の面積を求めよ．