2020 京都府立医科大学 前期

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2020 京都府立医科大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】  xy 平面において曲線 Cy =2- x22 を考える. t>0 とし C 上の点 P (t,2- t2 2) における C の法線を l とする. l C とで囲まれる図形を K とする.

(1) 法線 l の方程式を t を用いて表せ.

(2)  t>0 における K の面積 S の最小値を求めよ.

(3)  l が原点 O を通るとき, K x 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積 V を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】  n は自然数とする.変量 x についての 2 n 個のデータの値を x1 1 i2n とし,変量 y についての 2n 個のデータの値を yi 1 i2n とする. k 1k 2n-1 を満たす整数とする.変量 x y 2n 個の値の組を

(xi, yi)= { (i,i+ 2n-k) 1 ik (i,i -k) k+ 1i2 n

で与える. x y の共分散を Sx y とし, x y の相関係数を r とする.

(1)  Sxy k n を用いて表せ.

(2)  r=0 となる k は存在しないことを証明せよ.

(3) 自然数 n に対して r を最小にする k をとり,そのときの r rn と表す. limn rn を求めよ.

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【3】 複素数 z の虚部を Im (z) 偏角を arg z と表す.ただし, 0argz <2π とする.また z に共役な複素数を z と表す.

  α β は互いに異なる 0 でない複素数とする. w=- 1+3i 2 i は虚数単位)とし, g1=α +ωβ g2=α +ω2 β とおく.複素数平面上で α β が表す点をそれぞれ A B とする.また原点を O とする.

(1) 複素数 z に対して, Im( z)=- i2 (z- z ) であることを証明せよ.

(2)  Im(α β )= 36 ( |g1 |2- |g2 |2 ) であることを証明せよ.

(3)  3 O A B が同一直線上にあるための必要十分条件は | g1|= |g2 | であることを証明せよ.

(4)  3 O A B が同一直線上にあるとする.このとき,点 A が線分 OB を内分する点であるための必要十分条件は 2π3 <arg g1g2 < 4π3 であることを証明せよ.

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【4】 実数全体で定義された関数 f (x) は微分可能で f (0)= 0 を満たし,その導関数 f (x ) は連続かつ単調に減少しているとする.

(1)  n を自然数とし, k 1k n を満たす整数とする. k- 1nx kn のとき,以下の不等式(a),(b)が成り立つことを証明せよ.

(a)  f( kn )+f ( k-1n )(x -kn )f (x )

(b)  f(x )f (kn )+f ( kn )(x- kn )

(2)  an= 01 f(x )dx -1n k=1 nf (kn ) n =1 2 3 とおく.このとき

limn na n=- 12 f(1 )

であることを証明せよ.

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