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2020-11551-0101
2020 京都府立医科大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 x⁣y 平面において曲線 C:y =2- x22 を考える. t>0 とし C 上の点 P (t,2- t2 2) における C の法線を l とする. l と C とで囲まれる図形を K とする.
(1) 法線 l の方程式を t を用いて表せ.
(2) t>0 における K の面積 S の最小値を求めよ.
(3) l が原点 O を通るとき, K を x 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積 V を求めよ.
2020-11551-0102
【2】 n は自然数とする.変量 x についての 2⁢ n 個のデータの値を x1 (1 ≦i≦2⁢n ) とし,変量 y についての 2⁢n 個のデータの値を yi (1≦ i≦2⁢n ) とする. k は 1≦k ≦2⁢n-1 を満たす整数とする.変量 x と y の 2⁢n 個の値の組を
(xi, yi)= { (i,i+ 2⁢n-k) (1≦ i≦k ) (i,i -k) (k+ 1≦i≦2⁢ n)
で与える. x と y の共分散を Sx⁣ y とし, x と y の相関係数を r とする.
(1) Sx⁣y を k と n を用いて表せ.
(2) r=0 となる k は存在しないことを証明せよ.
(3) 自然数 n に対して r を最小にする k をとり,そのときの r を rn と表す. limn→∞ rn を求めよ.
2020-11551-0103
【3】 複素数 z の虚部を Im⁡ (z) , 偏角を arg⁡ z と表す.ただし, 0≦arg⁡z <2⁢π とする.また z に共役な複素数を z‾ と表す.
α, β は互いに異なる 0 でない複素数とする. w=- 1+3⁢i 2 ( i は虚数単位)とし, g1=α +ω⁢β , g2=α +ω2⁢ β とおく.複素数平面上で α , β が表す点をそれぞれ A , B とする.また原点を O とする.
(1) 複素数 z に対して, Im⁡( z)=- i2 ⁢(z- z‾ ) であることを証明せよ.
(2) Im⁡(α ⁢β‾ )= 36⁢ ( |g1 |2- |g2 |2 ) であることを証明せよ.
(3) 3 点 O , A , B が同一直線上にあるための必要十分条件は | g1|= |g2 | であることを証明せよ.
(4) 3 点 O , A , B が同一直線上にあるとする.このとき,点 A が線分 OB を内分する点であるための必要十分条件は 2⁢π3 <arg⁡ g1g2 < 4⁢π3 であることを証明せよ.
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【4】 実数全体で定義された関数 f⁡ (x) は微分可能で f⁡ (0)= 0 を満たし,その導関数 f′ ⁡(x ) は連続かつ単調に減少しているとする.
(1) n を自然数とし, k は 1≦k ≦n を満たす整数とする. k- 1n≦x ≦kn のとき,以下の不等式(a),(b)が成り立つことを証明せよ.
(a) f⁡( kn )+f′ ⁡( k-1n )⁢(x -kn )≦f⁡ (x )
(b) f⁡(x )≦f⁡ (kn )+f ′⁡( kn )⁢(x- kn )
(2) an= ∫01 f⁡(x )⁢dx -1n ⁢ ∑k=1 nf⁡ (kn ) (n =1, 2, 3, ⋯) とおく.このとき
limn→ ∞n⁢a n=- 12⁢ f⁡(1 )
であることを証明せよ.