2020　大阪市立大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}$$b$を実数とする．$3$次関数$f(x)=x^3+3a{x}^2+3bx$に対して，次の問いに答えよ．

問１　$f(x)$が極大値と極小値をもつための$a\text{，}$$b$の条件を求めよ．

問２　問１の条件が成り立つとする．このとき，$f(x)$の極大値の絶対値と極小値の絶対値が等しくなるための$a\text{，}$$b$の条件を求めよ．

問３　問１と問２の条件を同時に満たす実数の組$(a,b)$の集合を座標平面上に図示せよ．

【２】　$p\text{，}$$q$を実数とする．$3$次方程式$x^3-3x^2+px+q=0$は$1$個の実数解$b$と$2$個の虚数解をもつとする．このとき，次の問いに答えよ．

問１　虚数解の$1$つを$\alpha$とするとき，$\alpha$と共役な複素数$\bar{\alpha }$がもう$1$つの虚数解であることを示せ．

問２　$\alpha$の実部を$r$とする．$\alpha =r+\sqrt{3}i$かつ$(\alpha -b)(\bar{\alpha }-b)=12$のとき，$r-b$がとり得る値をすべて求めよ．

問３　問２の仮定の下で，可能な実数の組$(p,q)$をすべて求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を

$a_0=1\text{，}$$a_n=a_{n-1}+{\displaystyle \frac{{(-1)}^n}{n!}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．次の問いに答えよ．

問１　$m$を自然数とするとき，$a_{2m-2}>a_{2m}\text{，}$$a_{2m-1}<a_{2m+1}$を示せ．

問２　$n\geqq 2$のとき，$0<a_n<1$を示せ．

【４】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，$C_1$は$x$軸に接する半径$2$の円で，その中心$\mathrm{A}$の$x$座標$a$は$2<a\leqq 4$を満たすとする．また，$C_2$は$y$軸および$C_1$に接する半径$1$の円で，その中心$\mathrm{B}$の$y$座標$b$は$b\geqq 2$を満たすとする．さらに，$C_1$と$C_2$の接点$\mathrm{P}$を通る$C_1\text{，}$$C_2$の共通接線$l$の傾きは$2$であるとする．次の問いに答えよ．

問１　$a$と$b$を求めよ．

問２　$l$の方程式を求めよ．

問３　$\mathrm{▵OAB}$の面積を求めよ．

【１】　$\alpha$は$0<\alpha <\pi$を満たす実数とする．$xy$平面において，$y=\sin x$のグラフと$y=\sin (x-\alpha )$のグラフの交点のうち，$x$座標が正で最小のものを$\mathrm{P}$とおく．次の問いに答えよ．

問１　$\mathrm{P}$の座標を$\alpha$を用いて表せ．

問２　$\mathrm{P}$の$x$座標を$c$とする．曲線$y=\sin x$$\text{（}\alpha \leqq x\leqq c\text{），}$曲線$y=\sin (x-\alpha )$$\text{（}\alpha \leqq x\leqq c\text{）}$と直線$x=\alpha$とで囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積$V(\alpha )$を求めよ．

問３　$\alpha$が$0<\alpha <\pi$の範囲を動くときの$V(\alpha )$の最大値を求めよ．

【２】　$p\text{，}$$q$を実数とする．$3$次方程式$x^3-3x^2+px+q=0$は$1$個の実数解$b$と$2$個の虚数解をもつとする．このとき，次の問いに答えよ．

問１　虚数解の$1$つを$\alpha$とするとき，$\alpha$と共役な複素数$\bar{\alpha }$がもう$1$つの虚数解であることを示せ．

問２　$\alpha$の実部を$r$とする．$|\alpha -\bar{\alpha }|=|\alpha -b|=2\sqrt{3}$のとき，$|r-b|$を求めよ．

問３　問２の仮定の下で，可能な実数の組$(p,q)$をすべて求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

問１　$1<m\leqq n$を満たす自然数$m\text{，}$$n$に対し，次の不等式が成り立つことを証明せよ．

${\displaystyle {\int }_m^{n+1}}{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{x}}<{\displaystyle \sum _{k=m}^n}{\displaystyle \frac{1}{k}}<{\displaystyle {\int }_m^{n+1}}{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{x-1}}$

問２　${\displaystyle \sum _{k=1}^{2020}}{\displaystyle \frac{1}{k}}$の整数部分を求めよ．ただし，実数$x$に対して$a$が$x$の整数部分であるとは，$a$が整数であって$a\leqq x<a+1$が成り立つことをいう．また，正の実数$x$の自然対数を$\log x$とし，$\log 2=0.69\text{，}$$\log 3=1.10\text{，}$$\log 2020=7.61$とする．

【４】　座標空間内に$3$点$\mathrm{A}$$(\sqrt{3},0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,3,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-\sqrt{3},0,0)$をとる．$\mathrm{▵ABC}$の重心を通り$xy$平面に垂直な直線を$l$とする．また，点$\mathrm{P}$$(p,q,r)$は

$r>0\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}=0\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CP}}=4$

を満たしているものとする．次の問いに答えよ．

問１　$p$および$r$を$q$を用いて表せ．また，$q$がとり得る値の範囲を求めよ．

問２　線分$\mathrm{BP}$の中点を$\mathrm{M}$とする．また，$l$上に点$\mathrm{N}$を$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$が垂直になるようにとる．$\mathrm{N}$の座標を$q$を用いて表せ．

問３　$\mathrm{N}$の$z$座標が最小になるときの$q$の値を求めよ．