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2020 大阪府立大学 前期

知識情報システム・環境システム・マネジメント・獣医・応用生命科・緑地環境科・理・総合リハビリテーション学類

易□ 並□ 難□

【1】 表裏の両面に数字が 1 つずつ書いてある次の(a)から(f)の 6 種類のカードを使う.

このようなカード 10 枚を袋に入れ.よく混ぜてから 2 枚取り出して机におく.このとき,袋からカードを取り出す確率はカードの種類によらず同じであり,取り出して机においたカードのどちらの面が上になるかは等確率とする.袋に入れる 10 枚のカードが以下の場合に,取り出したカードの上になった面の数字の和が 3 となる確率をそれぞれ求めよ.

(1) (a)のカードが 4 枚,(d)のカードが 2 枚,(f)のカードが 4 枚の場合

(2) (a)のカードが 2 枚,(c)のカードが 3 枚,(d)のカードが 2 枚,(e)のカードが 3 枚の場合

(3) (a)のカードが 2 枚,(b)のカードが 1 枚,(c)のカードが 2 枚,(d)のカードが 1 枚,(e)のカードが 1 枚,(f)のカードが 3 枚の場合

((1)と(2)の解答は,答えのみを解答用紙の所定の欄に記入せよ.)

2020 大阪府立大学 前期

知識情報システム・獣医・応用生命科・緑地環境科・理学類

易□ 並□ 難□

【2】 四面体 OABC は, ∠AOC が鋭角かつ

∠AOC=∠BOC OA=1 OB=3 OC=2 3 AB=7

を満たすとし, a= OA b= OB c= OC とする.辺 OA 上の点 D OB 上の点 E AB 上の点 F に対して,四角形 DAFE は平行四辺形であるとし, OD= ta 0 <t<1 とする.また,点 E から辺 OC に下ろした垂線と辺 OC との交点を H とするとき,直線 HD は辺 OA と垂直に交わるとする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  OE OF をそれぞれ a b t を用いて表せ.

(2) 内積 a b を求めよ.

(3)  cos∠BOC を求めよ.

(4) 点 H から平面 OAB に下ろした垂線と平面 OAB との交点を K とするとき, OK a b t を用いて表せ.

2020 大阪府立大学 前期

環境システム・マネジメント・総合リハビリテーション学類

易□ 並□ 難□

【2】  t 0<t <1 を満たす定数とする.三角形 OAB において,辺 OA 2:3 に内分する点を C OB t:1 -t に内分する点を D 線分 AD と線分 BC の交点を E 直線 OE と辺 AB の交点を F とする. a= OA b= OB とするとき,以下の問いに答えよ.

(1)  AD BC をそれぞれ a b t を用いて表せ.

(2)  OE a b t を用いて表せ.

(3)  OF a b t を用いて表せ.

(4)  ∠AOB=θ とする.辺 OA と辺 OB の長さが等しく, ∠AEB が直角のとき, cosθ t を用いて表せ.

2020 大阪府立大学 前期

知識情報システム・獣医・応用生命科・緑地環境科・理学類

環境システム・マネジメント・総合リハビリテーション学類【3】の類題

易□ 並□ 難□

【3】 自然数 n に対して, Sn Tn Un をそれぞれ

Sn= k=1 nk (n+1- k)

Tn= k=1 3n ( 13) ksin 2k π3

Un= 1n k =1n sin( pkπ n) sin( 2kπ n)

と定める.ただし p は自然数とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  n=1 1Sn を求めよ.

(2)  limn Tn を求めよ.

(3)  limn Un を求めよ.

2020 大阪府立大学 前期

環境システム・マネジメント・総合リハビリテーション学類

知識情報システム・獣医・応用生命科・緑地環境科・理学類【3】の類題

易□ 並□ 難□

【3】 自然数 n に対して, Sn Tn Un をそれぞれ

Sn= k=1 nk (n+1- k)

Tn= k=1 2n 1k (k+2 ) |sin kπ 2|

Un= k=1 3n ( 13) ksin 2k π3

と定める.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  Sn n を用いて表せ.

(2)  Tn n を用いて表せ.

(3)  Un n を用いて表せ.

2020 大阪府立大学 前期

知識情報システム・獣医・応用生命科・緑地環境科・理学類

易□ 並□ 難□

【4】  0<a< 1 を満たす実数 a に対して,曲線 y=x e-a x と直線 y= ax で囲まれた部分の面積を S (a) とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  S(a ) a を用いて表せ.

(2)  S(a ) 0< a<1 の範囲で単調に減少することを示せ.

(3)  lima 1-0 S (a) (1- a)3 を求めよ.必要があれば次の等式を証明せずに用いてもよい.

limx0 e x-1x =1 limx0 e x-1-x x2= 12 limx 0 ex-1- x-1 2x 2x3 =16

2020 大阪府立大学 前期

環境システム・マネジメント・総合リハビリテーション学類

易□ 並□ 難□

【4】  a b は実数で a> 0 a1 を満たすとする.放物線 y= a-1 a x2+x C 直線 y=a x+b l とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  C l が異なる 2 点で交わるための条件を a b を用いて表し,この条件を満たす点 (a ,b) の範囲を座標平面上に図示せよ.

(2)  0<a< 1 かつ b=2 a(a -1) のとき, C l で囲まれた部分の面積を S (a) とする. S(a ) a を用いて表せ.

(3)  a 0<a <1 の範囲を動くとき,(2)で求めた S (a) の最大値を求めよ.

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