2020　大阪府立大学　中期MathJax

$f(x)={\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^{\log x}$

を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)\text{，}$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$を微分せよ．

(3)　$f(x)$の最大値を与える$x$の値を求めよ．

(4)　$f(x)$の最大値を求めよ．

(5)　曲線$y=f(x)$の変曲点をすべて求めよ．

（この問題の計算の過程は記入しなくてよい．）

${\displaystyle \frac{z_2-z_1}{z_3-z_1}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2}}(\sqrt{3}+i)$

をみたすとする．ただし，$i$は虚数単位とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{\angle A}$の大きさを求めよ．

(2)　${\left({\displaystyle \frac{z_3-z_1}{z_2-z_1}}\right)}^6$を求めよ．

(3)　$\mathrm{\angle C}$の大きさを求めよ．

（この問題の計算の過程は記入しなくてよい．）

$g(x)={\displaystyle \frac{\sin (\log x)}{x}}$

を考える．ここで，$g(x)$の極大値を与える$x$の値全体の集合を$A$とする．$A$の要素のうち小さい方から$n$番目の要素を$a_n$とする．さらに，$g(x)$の極小値を与える$x$の値全体の集合を$B$とする．$B$の要素のうち小さい方から$n$番目の要素を$b_n$とする．ただし，$n$は自然数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$g(x)$を微分せよ．

(2)　$\log a_n$を求めよ．

(3)　$\log b_n$を求めよ．

(4)　${\displaystyle {\int }_{a_n}^{b_n}}{\displaystyle \frac{{\sin }^2(\log x)}{x}}\mathit{dx}$を求めよ．

（この問題の計算の過程は記入しなくてよい．）

$f(x)=|x-2[{\displaystyle \frac{x+1}{2}}\left]\right|$

また，$k$は整数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$2k\leqq x<2k+1$のとき，$f(x)$を$x$と$k$を用いて表せ．

(2)　$2k+1\leqq x\leqq 2k+2$のとき，$f(x)$を$x$と$k$を用いて表せ．

(3)　${\displaystyle {\int }_{2k}^{2k+1}}{e}^{-2x}f(x)\mathit{dx}$を$k$を用いて表せ．

(4)　${\displaystyle {\int }_{2k+1}^{2k+2}}{e}^{-2x}f(x)\mathit{dx}$を$k$を用いて表せ．

(5)　自然数$n$に対して，$I_n={\displaystyle {\int }_0^{2n}}{e}^{-2x}f(x)\mathit{dx}$とおく．このとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$を求めよ．

（この問題の計算の過程は記入しなくてよい．）

(1)　$p_3\text{，}$$p_4$を求めよ．

(2)　$q_3\text{，}$$q_4$を求めよ．

(3)　$n$が奇数のとき，$p_n$を求めよ．

(4)　$n$が偶数のとき，$p_n$を求めよ．

(5)　$n$が奇数のとき，$q_n$を求めよ．

(6)　$n$が偶数のとき，$q_n$を求めよ．

（この問題の計算の過程は記入しなくてよい．）