2020　兵庫県立大学　前期MathJax

$a{x}^2+(2k+1)x+k=0\cdots \text{①}$

を考える．以下の問に答えなさい．

(1)　方程式$\text{①}$が実数解をもつための必要十分条件を$a\text{，}$$k$を用いて表しなさい．

(2)　方程式$\text{①}$が任意の実数$k$に対して実数解をもつための$a$の値の範囲を求めなさい．

(3)　方程式$\text{①}$が任意の自然数$k$に対して実数解をもつための$a$の値の範囲を求めなさい，

$P_1\text{：}y=x^2+ax+b\text{，}$$P_2\text{：}y=-x^2+2x$

ただし，$a\text{，}$$b$は実数とする．放物線$P_1$の頂点を$\mathrm{V}\text{，}$点$\mathrm{V}$の$x$座標を$t$とし，$t>0$の範囲で点$\mathrm{V}$は放物線$P_2$上を動くものとする．放物線$P_1$と${\mathrm{P}}_2$で囲まれる部分の面積を$S$として，以下の問に答えなさい．ただし$t>0$とする．

(1)　$a\text{，}$$b$を$t$を用いて表しなさい．

(2)　$S$を$t$を用いて表しなさい．

(3)　$y$軸と$2$つの放物線$P_1\text{，}$$P_2$で囲まれる部分の面積を$T$とする．$t\geqq 1$のとき，$T-S$の最大値を求めなさい．

(1)　点$\mathrm{A}$$(0,0,1)$に対し，点$\mathrm{P}$$(z,y,z)$が球面$S$上を$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=0$を満たしながら動くとき，$x\text{，}$$y$が満たす関係式を求めなさい．

(2)　点$\mathrm{B}$$(0,1,1)$に対し，点$\mathrm{C}$$(0,2,0)$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$に垂直な平面を$\alpha$とする．また，平面$\alpha$による円柱$T$の側面の切り口を曲線$E$とする．曲線$E$上を点$\mathrm{Q}\text{<mspace width=".5em"></mspace>}(z,y,z)$が動くとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の大きさ$\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|$の最大値と最小値を求めなさい．

(1)　$f_7=4$となる確率$p_1$を求めなさい．

(2)　試行$T$を$7$回繰り返す．途中，試行$T$を$3$回終えたときは$f_3=2$であり，かつ試行$T$を$7$回終えたときに$f_7=4$となる確率$p_2$を求めなさい．

(3)　試行$T$を$7$回繰り返す．途中，試行$T$を$3$回終えたときは$f_3\ne 2$であり，かつ試行$T$を$7$回終えたときに$f_7\ne 4$となる確率$p_3$を求めなさい．

(1)　$a$の取り得る値の範囲を求めなさい．

(2)　領域$H$に含まれる点$(x.y)$のうち，$y-ax$の最大値および最小値を与える点をそれぞれ求めなさい．

(3)　正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の周上に点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$と異なる点$\mathrm{R}$をとる．点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$をそれぞれ任意に${\mathrm{P}}_0\text{，}$${\mathrm{Q}}_0$に固定する．このとき，$\mathrm{▵}{\mathrm{P}}_0{\mathrm{Q}}_0\mathrm{R}$の面積は，点$\mathrm{R}$が正六角形の頂点Eに一致するときに最大となることを示しなさい．

(4)　$\mathrm{▵PQE}$の面積$S$の最大値と，そのときの$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めなさい．

$E\text{：}{\displaystyle \frac{{(x-p)}^2}{p^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{q^2}}=1$

を考える．このとき，楕円$E$に囲まれる部分の面積$\pi pq$を$S$とする．以下の問に答えなさい．

(1)　$S$を$p\text{，}$$c$を用いて表しなさい．

(2)　$S$を最小にする$p$の値を求めなさい．

(3)　$S$の最小値を$S_0$とし，面積が$S_0$である楕円$E$を$E_0$とする．また，点$\mathrm{C}$における$E_0$の接線および$x$軸，$y$軸で囲まれる部分の面積を$T$とする．このとき，${\displaystyle \frac{S_0}{T}}$が$c$の値によらず一定であることを示しなさい．

(1)　$a=2\text{，}$$b=4$とする．このとき$f(2)$の値を求めよ．

(2)　$a=2\text{，}$$b=4$とする．このとき不等式$f(x)>0$を解け．

(3)　$a=t\text{，}$$b=t^2$とする．ただし$t>1$とする．区間$0<x<3$においてつねに$f(x)<0$となるような定数$t$の値の範囲を求めよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$および$x$を用いて表せ．

(2)　三角形$\mathrm{PQH}$の面積を$S$とする．$S$を$x$を用いて表せ．

(3)　(2)の$S$が最大となるときの$x$の値を求めよ．

(1)　表がちょうど$3$回出る．

(2)　表が$3$回以上出る．

(3)　表が$3$回以上連続して出る．

(1}　$f^{\prime }\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)$および$f^{\prime }(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を$\alpha$を用いて表せ．また，$f^{\prime }(c)=0$となる実数$c$が存在することを示せ．

(2)　全ての実数$x$に対して$g(x)+{\{f^{\prime }(x)\}}^2$が一定であることを示し，その定数を$\alpha$を用いて表せ．

(3)　$g(x)$の最大値を$M$とおくとき，$M$を$\alpha$を用いて表せ．

(4)　(3)の$M$が最小となるときの$\alpha$の値を求めよ．またそのときの$M$の値を求めよ．

(1)　$f_n(x)$はただ一つの極大値をとることを示せ．また$f_n(x)$が極大となるときの$x$を$a_n\text{，}$極大値を$b_n$とするとき，$a_n\text{，}$$b_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．

(2)　(1)における$a_n$に対して，$A_n={\displaystyle {\int }_0^{a_n}}{f}_n(x)\mathit{dx}$とおく．$A_n$の値を求めよ．

(3)　(1)における$a_n$に対して，$B_n={\displaystyle {\int }_0^{a_n}}(x^2+1)f_n(x)\mathit{dx}$とおく．$B_n$を$n$を用いて表し，$\underset{n\to \infty }{\lim }{B}_n$を求めよ．