2020　奈良県立医科大学　前期医学科MathJax

【１】　以下の空欄を適切に埋めて文章を完成させよ．

(1)　$n$を$2$以上の整数とする．この問題において$n$進数とは，$0$以上$n$未満の整数$a_{d-1}\text{，}$$a_{d-2}\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_0$（ただし$a_{d-1}\ne 0$）を並べた列$a_{d-1}{a}_{d-2}\cdots a_0$のこととする．これは整数$a_{d-1}{n}^{d-1}+a_{d-2}{n}^{d-2}+\cdots +a_0{n}^0$と対応しており，任意の正整数と対応する$n$進数がただ一つ存在することが知られている．例えば

$4\times 5^3+0\times 5^2+3\times 5^1+1\times 5^0=516$

なので，$5$進数の$4031$は整数$516$に対応する．$6$進数の$123$は整数の$\text{ア}$に対応し，整数$2020$は$7$進数の$\text{イ}$に対応する．

(2)　$n$を$2$以上の整数とする．この問題において$(-n)$進数とは$0$以上$n$未満の整数$a_{d-1}\text{，}$$a_{d-2}\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_0$（ただし$a_{d-1}\ne 0$）を並べた列$a_{d-1}{a}_{d-2}\cdots a_0$のこととする．これは整数$a_{d-1}{(-n)}^{d-1}+a_{d-2}{(-n)}^{d-2}+\cdots +a_0{(-n)}^0$と対応しており，$0$でない任意の整数と対応する$(-n)$進数がただ一つ存在することが知られている．例えば

$1\times {(-4)}^3+3\times {(-4)}^2$$+1\times {(-4)}^1$$+2\times {(-4)}^0$$=-18$

なので，$(-4)$進数の$1312$は整数$-18$に対応する．$(-5)$進数の$1234$は整数の$\text{ウ}$に対応し，整数$-2020$は$(-7)$進数の$\text{エ}$に対応する．

【２】　以下の空欄を適切に埋めて文章を完成させよ．

　点$\mathrm{A}$を中心とする半径$R$の円$C_{\mathrm{A}}$の内部に点$\mathrm{B}$をおく．点$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の距離を$r$$\text{（}<R\text{）}$としたとき，点$\mathrm{B}$を中心とする半径$r$の円$C_{\mathrm{B}}$を考える．

(1)　円$C_{\mathrm{A}}$と$C_{\mathrm{B}}$の共通接線が$2$つ存在するための必要十分条件は，$r$と$R$の間に関係式$\text{ア}$が成立することである．

　以下の設問では，関係式$\text{ア}$が成立し，円$C_{\mathrm{A}}$と$C_{\mathrm{B}}$に$2$つの共通接線$l$と$l^{\prime }$が存在するとする．

(2)　接線$l$と$l^{\prime }$の交点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{A}$の距離は$\text{イ}$である．

(3)　円$C_{\mathrm{A}}$と接線$l$の接点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{BQ}$の長さが等しいとき，$r=\text{ウ}$である．

【３】　平面上の三角形$\mathrm{OAB}$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，それぞれの大きさを$\left|\overrightarrow{a}\right|=a\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=b$とする，ベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積を$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=c$と表す．定数$\alpha \text{，}$$\beta$に対し，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OX}}=\alpha$を満たす平面上の点$\mathrm{X}$の集合$l$と．$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OY}}=\beta$を満たす平面上の点$\mathrm{Y}$の集合$m$との共通点を考えよう．

　次の(ア)には適切な数を，(イ)から(カ)には$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$\alpha \text{，}$$\beta$で表された数式を入れて文章を完成させよ，

　集合$l$は直線をなす．直線$l$上の$1$点を$\mathrm{P}\text{．}$直線$l$に平行な単位ベクトルを$\overrightarrow{l}$とすると，$l$上の点$\mathrm{X}$は媒介変数$t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OX}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+t\overrightarrow{l}$と書ける．このとき$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{l}=\text{ア}$である．これから，$\overrightarrow{l}=\pm (\text{イ}\overrightarrow{a}+\text{ウ}\overrightarrow{b})$となる．また点$\mathrm{P}$として直線$\mathrm{OA}$と直線$l$の交点をとると，$\overrightarrow{\mathrm{OX}}=\text{エ}\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{l}$と書ける．直線$l$と$m$の共通点を$\mathrm{Z}$とすると$\overrightarrow{\mathrm{OZ}}=\text{オ}\overrightarrow{a}+\text{カ}\overrightarrow{b}$である．

【４】　以下の空欄を適切に埋めて文章を完成させよ．

　プレイヤー$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$がそれぞれ籍を持っており，どちらの箱にも$1$から$n$の整数が書かれたカードが各$1$枚，合計$n$枚のカードが入っている．$1$回のゲームでは，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$はそれぞれ自分の箱から$1$枚のカードを無作為に選んで取り出し，カードの数字を比べる．数字が大きいカードを出した方が勝ち，小さいカードを出した方は負けで，カードの数字が同じ場合は引き分けとする．取り出したカードは箱に戻さず，箱の中のカードがなくなるまで$n$回のゲームを行う．$m$回目$\text{（}1\leqq m\leqq n\text{）}$に取り出したカードによるゲームを第$m$ゲームと呼び，第$m$ゲームにおける$\mathrm{A}$のカードの数字を$a_m\text{，}$$\mathrm{B}$のカードの数字を$b_m$とする．

(1)　$n=3$とする．$3$回のゲームすべてが引き分けとなる確率は$\text{ア}$である．また$3$回のゲームが終わった時点で，$\mathrm{A}$が勝ったゲーム数と$\mathrm{B}$が勝ったゲーム数が$0$も含めて同数となる確率は$\text{イ}$である．

(2)　$n=3$とする．第$1$ゲームでは$\mathrm{A}$が勝ったとき，第$2$ゲームで$\mathrm{A}$が勝つ確率は$\text{ウ}$で，$\mathrm{B}$が勝つ確率は$\text{エ}$である．

(3)　$n$を$3$以上の整数とする．第$1$ゲームで$\mathrm{A}$が勝つ確率は$\text{オ}$である．以下では$a_1=k$および$b_1=l$$\text{（}k>l\text{）}$であったとする．第$2$ゲームで$a_2\ne l$かつ$b_2\ne k$となり，かつ$\mathrm{A}$が勝つ確率は$\text{力}$である．また，第$2$ゲームで$a_2=l$または$b_2=k$の少なくとも一方が成り立ち，かつ$\mathrm{A}$が勝つ確率は$\text{キ}$である．

【５】　実数全体で定義された連続関数$f(x)$が以下の$2$条件をみたしているとする．

•条件(ⅰ)：任意の$x$に対して$f(x)\geqq 0$

•条件(ⅱ)：任意の$x\ne 0$と任意の$\alpha >1$に対して$f(\alpha x)>\alpha f(x)$

(1)　条件(ⅱ)を用いて，任意の$\beta$$\text{（}0<\beta <1\text{）}$に対して$\beta f(1)>f(x)$となることを示せ．

(2)　$f(0)$の値を求めよ．

(3)　$x>y>0$に対し$f(x)>f(y)$が成り立つことを示せ．