2020　奈良県立医科大学　推薦医学科MathJax

【１】　以下の空欄を適切に埋めて文章を完成させよ．

　以下の積分で定義された数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$を考える．

$a_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\cos }^{n}x\mathit{dx}\text{，}$$b_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}x{\cos }^{n}x\mathit{dx}$$\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$n\geqq 2$に対し$a_n=\text{ア}{a}_{n-2}$が成り立つ．

(2)　$n\geqq 2$に対し$b_n=\text{イ}{b}_{n-2}-{\displaystyle \frac{1}{n^2}}$が成り立つ．

(3)　$b_n=c_n{a}_n$により数列$\{c_n\}$を定義すると，$n\geqq 2$に対し$c_n=c_{n-2}-{\displaystyle \frac{1}{\text{ウ}{a}_{n-2}}}$が成り立つ．

【２】　以下の問いに答えよ．

　一辺の長さが$a$の正三角形$\mathrm{ABC}$を考え，その重心を$\mathrm{G}$とする．

(1)　$\overline{\mathrm{AX}}=\overline{\mathrm{BX}}$をみたす点$\mathrm{X}$全体からなる集合はどのような図形か答えよ．

(2)　$\mathrm{ABC}$の辺上または内部にある点のうち，$\overline{\mathrm{GP}}\leqq \overline{\mathrm{AP}}$をみたす点$\mathrm{P}$全体からなる図形の面積を求めよ．

(3)　$\mathrm{ABC}$の辺上または内部にある点のうち，$\overline{\mathrm{GP}}\leqq \overline{\mathrm{AP}}\text{，}$$\overline{\mathrm{GP}}\leqq \overline{\mathrm{BP}}\text{，}$$\overline{\mathrm{GP}}\leqq \overline{\mathrm{CP}}$をみたす点$\mathrm{P}$全体からなる図形の面積を求めよ．

【３】　以下の空欄を適切に埋めて文章を完成させよ．

　空間内の位置ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$は大きさ$1$で，$\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{b}$かつ$\overrightarrow{a}\ne -\overrightarrow{b}$とする．この空間内の原点を始点とする位置ベクトル$\overrightarrow{r}$に対し，$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて

$f(\overrightarrow{r})=\overrightarrow{r}-2(\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{a})\overrightarrow{a}\text{，}$$g(\overrightarrow{r})=\overrightarrow{r}-2(\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{b}$

と定める．ただし，$\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{a}$等はベクトルの内積を表す．

(1)　ベクトルの方程式$f(\overrightarrow{r})=\overrightarrow{r}$をみたす$\overrightarrow{r}$の終点全体は，原点を通り$\text{ア}$に直交する平面をなす．

(2)　任意の位置ベクトル$\overrightarrow{r_1}$と$\overrightarrow{r_2}$に対して，

$f(\overrightarrow{r_1})\cdot f(\overrightarrow{r_2})=g(\overrightarrow{r_1})\cdot g(\overrightarrow{r_2})=\text{イ}$

および

$g(f(\overrightarrow{r_1}))\cdot g(f(\overrightarrow{r_2}))=\text{ウ}$

が成り立つ．

(3)　$H=\{m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}|m\text{，}n\text{は任意の実数}\}$とする．平面$H$内に，互いに直交する大きさ$1$のベクトル$\overrightarrow{e_1}\text{，}$$\overrightarrow{e_2}$を，$\overrightarrow{e_1}=\overrightarrow{a}$となるようにとる．$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{e_1}$のなす角を$\theta$とすると，$\overrightarrow{b}$は

$\overrightarrow{b}=\cos \theta \overrightarrow{e_1}+\sin \theta \overrightarrow{e_2}$

と表すことができる．このとき，$g(f(\overrightarrow{e_1}))$と$g(f(\overrightarrow{e_2}))$を計算すると，

$g(f(\overrightarrow{e_1}))=\text{エ}\overrightarrow{e_1}+\text{オ}\overrightarrow{e_2}\text{，}$

$g(f(\overrightarrow{e_2}))=-\text{オ}\overrightarrow{e_1}+\text{エ}\overrightarrow{e_2}$

【４】　以下の空欄を適切に埋めて文章を完成させよ．

　$\mathrm{A}$さんは家から大学に行くのに$n$回電車に乗る．雨が降っていたので，$\mathrm{A}$さんは傘を$1$本持って家を出発した．$\mathrm{A}$さんは，傘を持って電車に乗るたびに，確率${\displaystyle \frac{1}{3n}}$で傘を車両に置き忘れるものとする．

(1)　$\mathrm{A}$さんが傘を忘れずに大学にたどり着ける確率$P_n$は$\text{ア}$である．$1\leqq k\leqq n$なる$k$に対して，$k$番目の電車に傘を置き忘れる確率は$\text{イ}$である．また，$1\leqq i\leqq j\leqq n$なる$i$と$j$に対して，$j$番目の電車から降りたあと，今まで乗ったどれかの電車に傘を置き忘れたことに気づいたとき，$i$番目の電車で傘を置き忘れた確率は$\text{ウ}$である．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_n=\text{エ}$である．

(3)　$n=2m$（偶数）とする．$n$番目の電車から降りたあと，今まで乗ったどれかの電車に傘を置き忘れたことに気づいたとき，$1$番目から$m$番目までのどれかの電車に傘を置き忘れた確率を$Q_m$とすると，$\underset{m\to \infty }{\lim }{Q}_m=\text{オ}$である．

【５】　正整数$n$に対し，

$p(n)=n^3+2n^2+n+{2020}^2$

と定めたとき，以下を証明せよ．ただし，立方数とはある正整数$m$を用いて$m^3$と表される数のことである．

(1)　$p(2019)$は立方数である．

(2)　$p(n)$が立方数となる最大の正整数$n$は$2019$である．