2020 和歌山県立医科大学 前期

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2020 和歌山県立医科大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】(1) 数直線上の閉区間 [ 0,1 ] I 0 とし,点 A (a ) a >1 となるようにとる.このとき, A を含む閉区間 I に対して,不等式

L(I I0 )L (I ) 1a

が成立することを示せ.さらに,等号成立は I= [0,a ] のときのみであることを示せ.ただし, I は数直線上の異なる 2 点を両端とし, L( I) L( II0 ) はそれぞれの区間の両端の間の距離を表し, II 0 1 点または空集合のときは L (I I0 )=0 とする.

(2) 座標平面上で, (0 ,0) (1, 0) (1, 1) (0, 1) を頂点とする正方形を Q 0 とし,点 P (a ,b) 2a 1b a となるようにとる.各辺が x 軸または y 軸に平行な正方形 Q P を含むとき,不等式

S (Q Q0 )S (Q ) 1 a2

が成立することを,次の各場合について示せ.

(ⅰ)  Q の辺の長さが a 以上のとき,

(ⅱ)  Q の辺の長さが a より小さく, a-1 より大きいとき,

(ⅲ)  Q の辺の長さが a -1 以下のとき.

さらに,等号が成立する Q をすべて求めよ.ただし, S( Q) S( QQ0 ) はそれぞれ Q QQ 0 の面積を表し, QQ 0 1 点,線分,または空集合のときは S (Q Q0) =0 とする.

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易□ 並□ 難□

【2】 複素数 α β についての等式

1 α+ 1 β α +β

を考える.

(1)  |α |=1 |β |=1 のとき,この等式が成立することを示せ.

(2) この等式をみたす α β については, α+β =0 または | αβ |=1 となることを示せ.

(3) 極形式で α =r( cosθ+ isin θ) と表されているとき,この等式をみたす β を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】 座標平面上に曲線 K y=x 2 があり,半径 1 の円 C が下から K に接している. K C の接点 P の座標を ( t.t2 ) とし, C の中心の座標を ( u,v) とする.

(1)  P を通り,かつ P における K の接線と直交する直線の方程式を求めよ.

(2)  u v t の関数として表せ.

(3)  C x 軸に接するときの t をすべて求めよ.

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易□ 並□ 難□

【4】(1) 自然数 k に対して, 3 k を約数にもつ自然数は 2 から 30 までに何個あるか.

(2)  30!=6 dl となる自然数 d を求めよ.ただし, l 6 で割り切れない自然数である.

(3)  n を自然数とし, p を素数とする. pn !=p em となる自然数 e を求めよ.ただし, m p で割り切れない自然数である.

(4) 自然数 n に対して,自然数 d (n ) e( n) 30 n!=6 d( n) l=5 e( n) m と定める.ただし, l m はそれぞれ 6 5 で割り切れない自然数である.

 このときの極限 lim n d( n) e(n ) を求めよ.

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