2020　和歌山県立医科大学　前期MathJax

2020-11641-0101

2020　和歌山県立医科大学　前期

易□　並□　難□

【１】(1)　数直線上の閉区間 $[0, 1]$ を $I_{0}$ とし，点 $A$ $(a)$ を $a > 1$ となるようにとる．このとき， $A$ を含む閉区間 $I$ に対して，不等式

$\frac{L (I \cap I_{0})}{L (I)} ≦ \frac{1}{a}$

が成立することを示せ．さらに，等号成立は $I = [0, a]$ のときのみであることを示せ．ただし， $I$ は数直線上の異なる $2$ 点を両端とし， $L (I) ，$ $L (I \cap I_{0})$ はそれぞれの区間の両端の間の距離を表し， $I \cap I_{0}$ が $1$ 点または空集合のときは $L (I \cap I_{0}) = 0$ とする．

(2)　座標平面上で， $(0, 0) ，$ $(1, 0) ，$ $(1, 1) ，$ $(0, 1)$ を頂点とする正方形を $Q_{0}$ とし，点 $P$ $(a, b)$ を $2 ≦ a ，$ $1 ≦ b ≦ a$ となるようにとる．各辺が $x$ 軸または $y$ 軸に平行な正方形 $Q$ が $P$ を含むとき，不等式

$\frac{S (Q \cap Q_{0})}{S (Q)} ≦ \frac{1}{a^{2}}$

が成立することを，次の各場合について示せ．

(ⅰ)　 $Q$ の辺の長さが $a$ 以上のとき，

(ⅱ)　 $Q$ の辺の長さが $a$ より小さく， $a - 1$ より大きいとき，

(ⅲ)　 $Q$ の辺の長さが $a - 1$ 以下のとき．

さらに，等号が成立する $Q$ をすべて求めよ．ただし， $S (Q) ，$ $S (Q \cap Q_{0})$ はそれぞれ $Q ．$ $Q \cap Q_{0}$ の面積を表し， $Q \cap Q_{0}$ が $1$ 点，線分，または空集合のときは $S (Q \cap Q_{0}) = 0$ とする．

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【２】　複素数 $α ，$ $β$ についての等式

$\frac{1}{α} + \frac{1}{β} ＝ \overline{α} + \overline{β}$

を考える．

(1)　 $| α | = 1 ，$ $| β | = 1$ のとき，この等式が成立することを示せ．

(2)　この等式をみたす $α ，$ $β$ については， $α + β = 0 ，$ または $| α β | = 1$ となることを示せ．

(3)　極形式で $α = r (\cos θ + i \sin θ)$ と表されているとき，この等式をみたす $β$ を求めよ．

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【３】　座標平面上に曲線 $K ： y = x^{2}$ があり，半径 $1$ の円 $C$ が下から $K$ に接している． $K$ と $C$ の接点 $P$ の座標を $(t . t^{2})$ とし， $C$ の中心の座標を $(u, v)$ とする．

(1)　 $P$ を通り，かつ $P$ における $K$ の接線と直交する直線の方程式を求めよ．

(2)　 $u ，$ $v$ を $t$ の関数として表せ．

(3)　 $C$ が $x$ 軸に接するときの $t$ をすべて求めよ．

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【４】(1)　自然数 $k$ に対して， $3^{k}$ を約数にもつ自然数は $2$ から $30$ までに何個あるか．

(2)　 $30! = 6^{d} \cdot l$ となる自然数 $d$ を求めよ．ただし， $l$ は $6$ で割り切れない自然数である．

(3)　 $n$ を自然数とし， $p$ を素数とする． $p^{n}! = p^{e} \cdot m$ となる自然数 $e$ を求めよ．ただし， $m$ は $p$ で割り切れない自然数である．

(4)　自然数 $n$ に対して，自然数 $d (n) ，$ $e (n)$ を $30^{n}! = 6^{d (n)} \cdot l = 5^{e (n)} \cdot m$ と定める．ただし， $l ，$ $m$ はそれぞれ $6 ，$ $5$ で割り切れない自然数である．

　このときの極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{d (n)}{e (n)}$ を求めよ．