2020　岡山県立大学　前期MathJax

【１】　$\mathrm{\angle AOB}=90\mathrm{°}$の直角二等辺三角形$\mathrm{OAB}$の外側に，それぞれ$\mathrm{OA}$および$\mathrm{OB}$を$1$辺とする正三角形$\mathrm{OAK}$および正三角形$\mathrm{OBL}$をつくり，線分$\mathrm{AL}$と線分$\mathrm{BK}$との交点を$\mathrm{M}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OK}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AL}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{\angle KML}$の値を求めよ．

(4)　$\overrightarrow{\mathrm{AM}}=x\overrightarrow{\mathrm{AL}}$を満たす実数$x$を求めよ．

【２】　$a$を$1$より大きな実数とし，$x$の関数$f(x)=x^3-a^{2}x$と$g(x)=a^2-x^2$を考える．曲線$y=f(x)$を$C_1\text{，}$曲線$y=g(x)$を$C_2$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　曲線$C_1$と曲線$C_2$の交点を求めよ．

(2)　曲線$C_1$と曲線$C_2$とで囲まれた部分のうち，$f(x)\geqq g(x)$である部分の面積$S_1$を求めよ．

(3)　曲線$C_1$と曲線$C_2$とで囲まれた部分のうち，$f(x)\leqq g(x)$かつ$x\leqq 0$である部分の面積を$S_2$とする．$S_1-S_2$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，曲線$y=x\log x$と直線$y=x\log 2$の交点を$\mathrm{A}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

(2)　曲線$y=x\log x$の点$\mathrm{A}$における接線の方程式を$y=h(x)$とする．$x>0$のとき$x\log x\geqq h(x)$が成り立つことを示せ．

(3)　曲線$y=x\log x$上に点$\mathrm{B}$$(t,t\log t)$をとる．正数$t$が点$\mathrm{A}$の$x$座標よりも小さい範囲を動くとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積を最大にする$t$の値を求めよ．

【４】(1)　等比数列$\{a_n\}$の公比と等差数列$\{b_n\}$の公差が同じ値$d$であるとする．ただし，$d\ne 0$とする．それぞれの数列の項に対して，$a_1=b_1\text{，}$$a_2=b_3\text{，}$$a_4=b_7$が成り立つとき，初項$a_1$と公比（公差）$d$の値を求めよ．

【４】(2)　次の定積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x^2}{2^x}}\mathit{dx}$