2020　尾道市立大学　後期MathJax

【１】　放物線$C\text{：}y=x^2+2ax+a^2+1$と直線$l\text{：}y=x+4$について，次の問いに答えなさい．

(1)　放物線$C$と直線$l$が共有点をもつような$a$の取りうる値の範囲を求めなさい．

(2)　$\mathrm{A}$$(-4,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-2,2)$とする．放物線$C$と線分$\mathrm{AB}$が共有点をもつような$a$の取りうる値の範囲を求めなさい．ただし，線分$\mathrm{AB}$は端点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$をともに含むものとする．

【２】　次の[A]，[B]のうちから，いずれか$1$つを選んで解答しなさい．

[A]　あるバッティングセンターの利用者のうち，高校生と大学生を対象に調査を行ったところ，どの利用者も右打ちか左打ちのいずれかであり，以下のことがわかった．

(a)　左打ちの高校生の人数と，右打ちの大学生の人数は同じである

(b)　右打ちの高校生の人数と，大学生全体の人数は同じである

(c)　左打ちの高校生の人数は，左打ちの大学生の人数のちょうど$1.5$倍である

このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　右打ちの高校生の人数を$N$とするとき，高校生の人数と大学生の人数をそれぞれ$N$を用いて表しなさい．

(2)　高校生の人数と大学生の人数の比を，最も簡単な整数の比で表しなさい．

(3)　高校生と大学生の全体のうち，右打ちの人数と左打ちの人数の比を，最も簡単な整数の比で表しなさい．

【２】　次の[A]，[B]のうちから，いずれか$1$つを選んで解答しなさい．

[B]　$a\text{，}$$b$は自然数で$a\leqq b$とする．等式${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$を満たす自然数の組$(a,b)$をすべて求めなさい．

【３】　$a$を実数とする．点$\mathrm{A}$$(3,1)$を通り，傾きが$a$である直線$l$は，円$C\text{：}{x}^2+y^2=2$と異なる$2$点で交わるとする．$l$と$C$の交点を$\mathrm{A}$から近い順に$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　直線$l$の方程式を，$a$を用いて表しなさい．

(2)　$a$の取りうる値の範囲を求めなさい．

(3)　線分の長さの比${\displaystyle \frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{AP}}}$の最大値と，それを与える$a$の値を求めなさい．

(4)　${\displaystyle \frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{AP}}}\geqq 2$を満たすような$a$の取りうる値の範囲を求めなさい．