2020　県立広島大学　前期MathJax

【１】　$t$を実数とし，点$\mathrm{C}$$(t+1,t+1,2t)$を中心とする半径$8$の球面がある．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　この球面が$xy$平面と交わり円ができるときの$t$の範囲，および$xz$平面と交わり円ができるときの$t$の範囲をそれぞれ求めよ．

(2)　この球面が$xy$平面および$xz$平面の両方と交わるときにできる$2$つの円の面積の和$S$を$t$を用いて表せ．

(3)　$S$の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．

【２】　整数$m\text{，}$$n$がある．$m$は$2$進法で表すと$8$桁となり，そのうち$1$となる位が$5$つある数である．また，$n$は$2$進法で表すと$5$桁となり，そのうち$1$となる位が$3$つある数である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　考えられる$m$の候補のうち，$3$番目に大きい数を$10$進法で求めよ．

(2)　$m+n$の値を$10$進法で表すと$255$となった．このとき，考えられる$m$と$n$の組合せの総数を求めよ．

(3)　$m+n$の値が$10$進法で$255$より大きくなる場合の$m$と$n$の組合せの総数を求めよ．

【３】　次の文章を読んで，後の問いに答えよ．

　相関関係がない$2$つの変量$x\text{，}$$y$からなるデータがあるとき，$x$の分散$s_x^2\text{，}$$y$の分散$s_y^2\text{，}$$x+y$の分散$s_{x+y}^2\text{，}$$x-y$の分散$s_{x-y}^2$の間に次式が成り立つ．

$s_{x+y}^2=s_x^2+s_y^2$

$s_{x-y}^2=s_x^2+s_y^2$

また$a\text{，}$$b$を任意の定数とすると，以下の式も成り立つ．

$s_{ax+by}^2=a^2{s}_x^2+b^2{s}_y^2$

$s_{ax-by}^2=a^2{s}_x^2+b^2{s}_y^2$

ここで，$2$つの物体$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の重さ$m_{\mathrm{A}}\text{，}$$m_{\mathrm{B}}$を測りたい．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$それぞれを$\stackrel{\text{てんびん}}{\text{天秤}}$の片側に載せて直接測る方法(Ⅰ)と，まず一方に$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$両方を載せて重さの和を測り，次に天秤の両側に載せて重さの差を測ることにより，そこから算出する方法(Ⅱ)がある．

(1)　Ⅱにおいて，物体$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の重さの和，重さの差それぞれの測定データを$x\text{，}$$y$とおくとき，$m_{\mathrm{A}}\text{，}$$m_{\mathrm{B}}$を算出する式をそれぞれ示せ．

(2)　Ⅰ，Ⅱのどちらがすぐれた方法か，あなたの考えを説明せよ．ただし，この天秤ではどのような物体を測定したときも，その測定値は一定の散らばり具合を示し，ここではその値を分散$s^2$とする．また，それぞれの測定は互いに影響を与えないものとする．

【４】　次の文章を読んで，後の問いに答えよ．

　ある会社では，処理速度の異なる$2$台のコンピュータ${\mathrm{M}}_1$と${\mathrm{M}}_2$を使って$2$種類の業務$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$を行なっている．$2$つのコンピュータは，$1$分あたりに処理できる業務量が異なる．${\mathrm{M}}_1$は$1$分あたり業務$\mathrm{A}$を$32$件と業務$\mathrm{B}$を$18$件同時に処理できる．また，${\mathrm{M}}_2$は$1$分あたり業務$\mathrm{A}$を$10$件と業務$\mathrm{B}$を$15$件同時に処理できる．コンピュータの利用料金は$1$分あたり$M_1$が$4$円，${\mathrm{M}}_2$が$2$円となっている．なお，課金は分単位で行われ，$1$分に満たない利用時間は切り上げられるものとする．いま，業務$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$をそれぞれ$500$件以上処理したいが，コンピュータの利用料（円）は最小限に抑えたい．

(1)　コンピュータ${\mathrm{M}}_1\text{，}$${\mathrm{M}}_2$の利用時間（分）をそれぞれ$x\text{，}$$y$としたのとき，$x\text{，}$$y$の値が取りうる領域を図示せよ．

(2)　コンピュータの利用料（円）を$x\text{，}$$y$を使って表せ．

(3)　コンピュータの利用料（円）の最小値とそれぞれのコンピュータの利用時間（分）を求めよ．