2020 山陽小野田市立山口東京理科大学 後期薬学部

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2020 山口東京理科大学 後期

薬学部

配点40点

易□ 並□ 難□

【1】 次の(1),(2)の   内のカタカナに当てはまる 0 9 までの数字を求め,解答用マークシートの指定された箇所のマークを塗りつぶしなさい.ただし,分数は既約分数とする.また, などは既出の などを表すものとする.

 関数 f (x) =-8x3 +6x+ 2 を考える.

(1)  f(cos θ)= 0 を満たす 3 つの θ 0 θπ

π π π

である.但し, 0 < < 1 とする.

(2) 曲線 y=f (x ) x 軸で囲まれる 2 つの部分の面積の和は

-

である.

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【2】 次の(1)〜(3)の   内のカタカナに当てはまる 0 9 までの数字を求め,解答用マークシートの指定された箇所のマークを塗りつぶしなさい.ただし,分数は既約分数とする.また, などは既出の などを表すものとする.

(1) 不等式 0.300<log 102<0.305 が成り立つことを証明する.

 これは, 100.300< <10 0.305 を示すのと同値である. 100.300= 103 より, 103< =1024 であるから, 100.300< である.また, 107 =100.304 <100.305 であり,かつ = である.よって, <107 <100.305 となる.したがって,本題の不等式は成り立つ.

(2)  a=( 116 )10 により表される実数 a について考える.この実数 a を小数で表すと,小数第 位に初めて 0 でない数字が現れる.必要であれば,(1)の結果を利用すること.

(3) ある放射性元素の量が放射性崩壊によって指数関数的に減少し, 8 日たつごとに量が半分になることを考える.その放射性元素の最初の量を 1 として,最初の量から 10 分の 1 になるのは 日目である.

 また,そのような放射性元素の量を縦軸に,日数を横軸にとったグラフとして最も適切なものは,図1に示す 1 5 のうちの である.必要であれば,(1)の結果を利用すること.

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2020年山口東京理科大後期薬学部【2】2020117510302の図 2020年山口東京理科大後期薬学部【2】2020117510302の図
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2020年山口東京理科大後期薬学部【2】2020117510302の図 2020年山口東京理科大後期薬学部【2】2020117510302の図
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2020年山口東京理科大後期薬学部【2】2020117510302の図 

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【3】 無作為にある 2 つの数 X Y を独立に選ぶことを考える.この時, 2 つの数の組を点 (X ,Y) とする.これらの点に関して, 52 X2+Y2 82 を満たす場合を白,それ以外の場合を黒とする.このとき,次の(1),(2)の   内のカタカナに当てはまる 0 9 までの数字を求め,解答用マークシートの指定された箇所のマークを塗りつぶしなさい.ただし,分数は既約分数とする.

(1) 無作為に選ぶ 2 つの数が 8 以下の自然数である場合,白である確率は なのである.

(2) 無作為に 4 以下の 2 つ自然数を独立に選び,足し合わせた数を考える.この操作を 2 回行い,得られる数の組を改めて点 ( X,Y) とする.このとき,白である確率は である.

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【4】 ユークリッドの互除法は素因数分解を行わずに割り算の余りを利用して,最大公約数を求める方法である.それを使用して,次の(1),(2)の   内のカタカナ(ア)〜(ス)に当てはまる 0 9 までの数字を求め,解答用紙マークシートの指定された箇所のマークを塗りつぶしなさい.ただし, n 進数は右下に (n ) を付けて表すことにする.また, などは既出の などを表すものとする.

(1) 図2に示す縦 210 (4) 10032 (4) の長方形に,正方形を隙間なく敷き詰めることを考える.この時,縦と横を 10 進数で表すと,

縦: 210(4 )= (10)

横: 10032(4 )= (10)

となる.これらの値に対して,ユークリッドの互除法の手順を余りが 0 になるまで繰り返すと,

(10) = (10) × ( 10)+ (10)

( 10)= (10 )× ( 10)+ 0

となり,最も大きい正方形の 1 辺の長さは ( 10) である.

2020年山口東京理科大後期薬学部【4】2020117510304の図

図2

(2) 図2に示す長方形に(1)で求めた正方形を敷き詰めたとき, A 地点から B 地点まで正方形に沿って最短経路を進むときの道順の総数は (4) 通りである.



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【5】  2 次関数 f (x)= x2+2 ax-a+ 2 がある. a が実数であるとき,次の問いに答えなさい.解答は,解答用紙に導出過程も含めて記入しなさい.

(1)  0x1 における f (x) の最小値 m を求めなさい.

(2)  -1a 2 であるとき, m の最大値と最小値を求めなさい.

(3)  a=-1 とする. tx t+1 における f (x) の最小値を t の関数として g (t) とする. -3t 3 における g (t) の最小値と最大値を求めなさい.

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