2020　高知工科大学　後期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(1)　$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5\text{，}$$\mathrm{BC}=6$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において，$\tan \mathrm{\angle BAC}$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(2)　$1$から$1000$までの自然数のうち，$5$か$7$の少なくとも一方で割り切れる数は何個あるか．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(3)　三角形の$3$辺の長さが$2\text{，}$$3\text{，}$$x$であるとき，$x$のとりうる値の範囲を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(4)　不等式$x^3+2x^2-x-2>0$を解け．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(5)　$x$ の方程式${\log }_2(x-1)+{\log }_2(x-3)=3$を解け．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(6)　曲線$y=-x^3+3x-16$に原点から引いた接線の方程式を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　等比数列$\{a_n\}$が，$3a_1+a_2=0$を満たしているとする．$a_1+a_2+a_3={\displaystyle \frac{7}{3}}$のとき，$a_4+a_5+a_6$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(8)　$2$点$\mathrm{A}$$(3,2,2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,6,0)$を直径の両端とする球面の方程式を求めよ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}$$(0,{\displaystyle \frac{5}{2}})\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,4)$がある．放物線$y=x^2$のうち，$0\leqq x\leqq 2$の部分を曲線$C_1$とする．また，点$\mathrm{A}$を中心とする半径$\mathrm{AO}$の円のうち，$x\geqq 0$の部分を曲線$C_2$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$間の距離$\mathrm{AB}$を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{AO}\text{，}$$\mathrm{AB}$と曲線$C_1$で囲まれた部分の面積$S_1$を求めよ．

(3)　曲線$C_1$上の点$\mathrm{P}$$(x,x^2)$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\text{）}$に対し，$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{P}$間の距離の$2$乗${\mathrm{AP}}^2$のとりうる値の範囲を求めよ．

(4)　$\mathrm{\angle OAB}=\theta$$\text{（}0<\theta <\pi \text{）}$とおく．曲線$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積$S_2$を$\theta$を用いて表せ．

【３】　関数$f(x)\text{，}$$g(x)$を以下のように定める．

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(t-2)(3t-2)\mathit{dt}\text{，}$

$g(x)=x^2-12{\displaystyle {\int }_2^3}xg(t)\mathit{dt}+4$

このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$f(x)$と${\displaystyle \frac{d}{\mathit{dx}}}f(x)$を求めよ．

(2)　$g(x)$を求めよ．

(3)　$y=f(x)-g(x)$とおく．$0\leqq x\leqq 2$において，$y$のとりうる値の範囲を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　次の極限を求めよ．

$\underset{x\to \infty }{\lim }(\sqrt{x^2+2x-4}-x+6)$

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(8)　次の定積分を求めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数とし，$e$は自然対数の底とする．

${\displaystyle {\int }_1^{\sqrt{e}}}{\displaystyle \frac{{(\log x)}^3}{x}}\mathit{dx}$

【２】　$a$を定数とする．$\theta$の方程式

${\cos }^2\theta +\sin \theta -a+2=0\cdots$(＊)

について，次の各問に答えよ．ただし，$0\leqq \theta \leqq \pi$とする．

(1)　$t=\sin \theta$とおくとき，${\cos }^2\theta +\sin \theta +2$を$t$で表した式を$f(t)$とおく．$f(t)$を求めよ．

(2)　(1)の$f(t)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$t$の値を求めよ．

(3)　定数$a$の値の範囲で場合分けして，$\theta$の方程式(＊)の異なる実数解の個数を求めよ．

【３】　関数$f(x)=x^3{e}^{-\frac{3}{2}{x}^2}$について，次の各問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　関数$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$上の点$(1.f(1))$における接線$l$の方程式を求めよ．

(3)　関数$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．

(4)　不定積分${\displaystyle \int }x{e}^{-\frac{3}{2}{x}^2}\mathit{dx}$を求めよ．ただし，積分定数は$C$とせよ．

(5) (2)の接線$l$と曲線$y=f(x)$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．