2020 高知工科大学 AO経済・マネジメント学群MathJax

Mathematics

Examination

Test

Archives

2020 高知工科大学 AO経済・マネジメント学群

易□ 並□ 難□

【1】 次の各問に答えよ.なお,解答用紙の所定欄に答のみを記入すること.

(1)  x-1 x=5 のとき, x2+ 1x2 の値を求めよ.

2020 高知工科大学 AO経済・マネジメント学群

易□ 並□ 難□

【1】 次の各問に答えよ.なお,解答用紙の所定欄に答のみを記入すること.

(2) 三角形 ABC において, AB=3 BC=5 CA=7 のとき sinA の値を求めよ.

2020 高知工科大学 AO経済・マネジメント学群

易□ 並□ 難□

【1】 次の各問に答えよ.なお,解答用紙の所定欄に答のみを記入すること.

(3)  x 2x 7 をみたす実数とする.次のデータについて,中央値と平均値の差の絶対値が 1 以下となるような x の値の範囲を求めよ.

2 x 7 7 8

2020 高知工科大学 AO経済・マネジメント学群

易□ 並□ 難□

【1】 次の各問に答えよ.なお,解答用紙の所定欄に答のみを記入すること.

(4) 大小 2 個のさいころを同時に投げるとき,目の積が 4 の倍数になる場合は何通りあるか.

2020 高知工科大学 AO経済・マネジメント学群

易□ 並□ 難□

【1】 次の各問に答えよ.なお,解答用紙の所定欄に答のみを記入すること.

(5) 男子 3 人と女子 4 人がくじ引きで一列に並ぶとき,男子が隣り合わない確率を求めよ.

2020 高知工科大学 AO経済・マネジメント学群

易□ 並□ 難□

【1】 次の各問に答えよ.なお,解答用紙の所定欄に答のみを記入すること.

(6)  (x-2 )7 を展開したときの x4 の係数を求めよ.

2020 高知工科大学 AO経済・マネジメント学群

易□ 並□ 難□

【1】 次の各問に答えよ.なお,解答用紙の所定欄に答のみを記入すること.

(7)  2 次方程式 x2 -5x-2 =0 2 つの解を α β とするとき, α-1 β-1 を解とする 2 次方程式を 1 つつくれ.

2020 高知工科大学 AO経済・マネジメント学群

易□ 並□ 難□

【1】 次の各問に答えよ.なお,解答用紙の所定欄に答のみを記入すること.

(8) 不等式 x2 +y21 を満たす x y に対して, x+2y の最大値を求めよ.

2020 高知工科大学 AO経済・マネジメント学群

易□ 並□ 難□

【1】 次の各問に答えよ.なお,解答用紙の所定欄に答のみを記入すること.

(9) 不等式 log2 x+log2 (3-x )1 を解け.

2020 高知工科大学 AO経済・マネジメント学群

易□ 並□ 難□

【1】 次の各問に答えよ.なお,解答用紙の所定欄に答のみを記入すること.

(10) 関数 y=x 2-4x+ 9 のグラフに原点から引いた接線のうち,傾きが小さい方の方程式を求めよ.

2020 高知工科大学 AO経済・マネジメント学群

易□ 並□ 難□

【1】 次の各問に答えよ.なお,解答用紙の所定欄に答のみを記入すること.

(11) 三角形 OAB において,辺 OA 1:2 に内分する点を C OB 3:1 に内分する点を D とし,線分 AD と線分 BC の交点を P とする. OA= a OB= b とするとき, OP a b を用いて表せ.

2020 高知工科大学 AO経済・マネジメント学群

易□ 並□ 難□

【1】 次の各問に答えよ.なお,解答用紙の所定欄に答のみを記入すること.

(12)  n を自然数とする.和 11 +25+3 52+ +n5 n-1 を求めよ.

2020 高知工科大学 AO経済・マネジメント学群

易□ 並□ 難□

【2】  k を実数とする. xy 平面上において, 2 次関数 y= x2-2 (k+1) x+4k +1 で表される放物線の頂点を P (X,Y ) とする.次の各問に答えよ.

(1)  X Y をそれぞれ k を使って表せ.

(2)  Y>0 となるような k の値の範囲を求めよ.

(3)  k が実数全体を動くときの点 P の軌跡 C を求め, x y の方程式で表せ.

(4) (3)の曲線 C x 軸,直線 x=4 で囲まれた 2 つの部分のうち, y0 をみたす部分の面積を求めよ.

2020 高知工科大学 AO経済・マネジメント学群

易□ 並□ 難□

【3】 次の定理とその証明を読み,後の問に答えよ.

[定理]  m n 2 以上の互いに素である自然数とする.このとき, ma+n b a b 0 以上の整数)の形にかけない自然数全体の集合を S とすると, S に属する最大の自然数は mn -m-n である.

[証明] まず, mn-m -nS であることを背理法によって示す. mn-m- nS と仮定すると, mn-m- n=ma+ nb となる 0 以上の整数 a b が存在する.このとき

m(n -a-1) =n(b +1) (*)

が成り立つ.右辺は n で割り切れるから左辺も n で割り切れ, m n と互いに素だから n n-a -1 を割り切る.このとき.(ア) n-a-1 0 であるから,(*)より n (b+1) 0 となり矛盾が生じる.したがって mn -m-nS である.

 次に, k mn- m-n+1 以上の任意の自然数とし, kS であることを示す. m n は互いに素だから

mx+n y=k+m+ n

をみたす(イ)整数 x y が存在する. mq<y m(q+ 1) をみたす整数 q をとる.このとき

mx+n ymx+ mn( q+1)= m(x+ nq+n )

であるから

m(x+ nq+n ) (ウ) k+m+n mn+1 >mn

が成り立つ.よって x+n q+n>n だから x+n q>0 である.したがって

a=x+n q-1 b=y-m q-1

とおくと, a b 0 以上の整数で

ma +nb =m( x+nq -1)+ n(y- mq-1 ) =mx+ mnq- m+ny- mnq- n =k+m+ n-m-n= k

が成り立つ.よって kS である.

 以上より定理は示された.

[設問]

(1)  5a+7 b a b 0 以上の整数)の形にかける 24 以下の自然数をすべて求めよ.答のみでよい.

(2) 下線部(ア)の理由をわかりやすく説明せよ.

(3) 下線部(イ)においては,一般に次の命題が成り立つという事実が用いられている.

命題  m n を互いに素である自然数とする.このとき,任意の整数 N に対して, mx+n y=N をみたす整数 x y が存在する.

この命題に関して,次の(a)(b)の問に答えよ.

(a)  m=5 n=2 のとき, ma0 +ny0 =1 をみたす整数 x0 y0 が存在することを証明せよ.

(b)  m=5 n=2 のとき,任意の自然数 N に対して mx +ny=N をみたす整数 x y が存在することを証明せよ.

(4) 下線部(ウ)の理由をわかりやすく説明せよ.

(5)  17a+11 b=162 をみたす 0 以上の整数 a b を一組求めよ.必要なら

1717+11 (-9 )=190 17(- 1)<-9 170

であることを用いてよい.

inserted by FC2 system