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【1】 関数をとし(は定数),のグラフの概形について考える.以下の文章中の空欄にあてはまる数をそれぞれ答えなさい.また,空欄に入れるのに最も適当なものを下の解答群のうちから一つずつ選びなさい.
(1) まず,定数に具体的な値を代入して考えてみよう.のときの関数をと呼ぶ.である.
関数をで微分すると,である.ここでを解くととを得る.のグラフの概形はである.
の解答群
(2) 次に,元の関数について考えよう.
関数をで微分すると,である.を解くと,とを得る.これから,定数のいくつかの場合について,のグラフの概形を考える.
(ⅰ) のとき,の解は重解となる.のときののグラフの概形はである.
(ⅱ) のとき,の二つの解とを比較するとの方が大きい.したがって,関数はにおいてのときののグラフの概形はである.
の解答群
の解答群
の解答群
の解答群
極大値をとる | 極小値をとる | 原点を通る |
の解答群
表1:自分が登る段の数
相手の手 | ||||
グー | チョキ | パー | ||
自 分 の 手 |
グー | |||
チョキ | ||||
パー |
人でじゃんけんをして,勝った方が自分の出した手によって決まった数だけ階段の段を登るゲームをする.負けた方は階段を登ることができず,あいこのときはどちらも階段を登ることができない.表1は自分と相手の手によって,自分が何段登れるかをまとめた表である.
このゲームで何回かじゃんけんをしたときに,自分が出した手を並べたものを「手譜」と呼ぶことにしよう.手譜には自分の手しか記録されず,勝敗も記録されない.例えば,回じゃんけんをして表2のようにゲームが進んだとしよう.このとき,自分の手譜はじゃんけん回分の「チョキ,グー,グー,パー」である.
表2:ゲームの進行の例
回 | 自分の手 | 相手の手 | 自分の勝敗 | 自分の登る段 | 現在の位置 |
チョキ | パー | 勝ち | 段目 | ||
グー | グー | あいこ | 段目 | ||
グー | チョキ | 勝ち | 段目 | パー | チョキ | 負け | 段目 |
このゲームで,次の各問の条件を満たす手譜が何通りあるかを考える.
問1.このゲームで何回かじゃんけんをして,自分が全て勝ったとする.その結果,段目にいるような手譜が何通りあるかを求めたい.ただし,じゃんけんの回数は何回でもよい.ある手譜で自分が全て勝ったとき何段登るかを求めるのに,相手の手を考える必要はない.例えば,手譜がじゃんけん回分の「チョキ,グー,パー」であれば,自分が全て勝ったとき段目にいる.
空欄にあてはまる数を答えなさい.
仮に「グー」を出し続けて勝ち続けたとする.そのとき,回勝てば段目にいる.したがって,「グー」だけを並べたじゃんけん回分の手譜は,全て勝ったとき段目にいる手譜である.
「チョキ」か「パー」で勝てば「グー」で勝ったときの倍の段登る.したがって,「グー」で回勝つ代わりに「チョキ」か「パー」で1回勝てば同じ段登る.このことから,
a. 「グー」が回と,「チョキ」か「パー」のどちらかが回現れるじゃんけん回分の手譜
b. 「グー」が回と,「チョキ」と「パー」が合わせて回現れるじゃんけん回分の手譜
も全て勝ったとき段目にいることが分かる.これら以外に,全て勝ったとき段目にいる手譜は存在しない.a.とb.の条件を満たす手譜が,それぞれ何通りあるかを考える.
a.の条件を満たす手譜「グー」が回と「チョキ」が回現れるじゃんけん回分の手譜には,例えば「グー,チョキ,グー,グー」がある.これを含めて,「グー」が回と「チョキ」が回現れるじゃんけん回分の手譜は通りある.これらの手譜の「チョキ」を「パー」と置き換えた手譜もa.の条件を満たすので,a.の条件を満たす手譜は全部で通りある.
b.の条件を満たす手譜「グー」が回と「チョキ」が回現れるじゃんけん回分の手譜は通りある.これらの手譜の「チョキ」回分のうちどちらか,または両方を「パー」と置き換えた手譜もb.の条件を満たすので,b.の条件を満たす手譜はの倍の数だけ存在する.
全て「グー」の手譜と,a.の条件またはb.の条件を満たす手譜を全て合わせると,全て勝ったとき段目にいる手譜は全部で通りある.
問2.全て勝ったとき段目にいる手譜は,「グー」が一つだけのじゃんけん回分の手譜の通りである.全て勝ったとき段目にいる手譜と段目にいる手譜がそれぞれいくつあるかも考える.空欄に入れるのに最も適当なものを下の解答群のうちから一つずつ選びなさい.また,空欄に当てはまる数を答えなさい.
全て勝ったとき段目にいる手譜 次の条件を満たす手譜だけが,全て勝ったとき段目にいる.
a. 全て勝ったとき段目にいる手譜の後にを追加した手譜
b. が一つだけのじゃんけん回分の手譜
条件a.を満たす手譜は通り,条件b.を満たす手譜は通りなので,合計通りある.
全て勝ったとき段目にいる手譜 次の条件を満たす手譜だけが,全て勝ったとき段目にいる.
a. 全て勝ったとき段目にいる手譜の後にを追加した手譜
b. 全て勝ったとき段目にいる手譜の後にを追加した手譜
全て勝ったとき段目にいる手譜は通りなので,条件a.を満たす手譜は通りある.全て勝ったとき段目にいる手譜は通りなので,条件b.を満たす手譜は通りある.したがって,全て勝ったとき段目にいる手譜は通りある.
の解答群
「グー」 | 「チョキ」 | 「パー」 | 「チョキ」か「パー」 |
【2】 以下の問1〜5のすべてに解答しなさい.問3〜5は解答の家庭も記述しなさい.
必要であれば,の累乗との累乗の値は表3から求めてもよい.
表1:自分が登る段の数
相手の手 | ||||
グー | チョキ | パー | ||
自 分 の 手 |
グー | |||
チョキ | ||||
パー |
人でじゃんけんをして,勝った方が自分の出した手によって決まった数だけ階段の段を登るゲームをする.負けた方は階段を登ることができず,あいこのときはどちらも階段を登ることができない.表1は自分と相手の手によって,自分が何段登れるかをまとめた表である.
このゲームで何回かじゃんけんをしたときに,自分が出した手を並べたものを「手譜」と呼ぶことにしよう.手譜には自分の手しか記録されず,勝敗も記録されない.例えば,回じゃんけんをして表2のようにゲームが進んだとしよう.このとき,自分の手譜はじゃんけん回分の「チョキ,グー,グー,パー」である.
表2:ゲームの進行の例
回 | 自分の手 | 相手の手 | 自分の勝敗 | 自分の登る段 | 現在の位置 |
チョキ | パー | 勝ち | 段目 | ||
グー | グー | あいこ | 段目 | ||
グー | チョキ | 勝ち | 段目 | パー | チョキ | 負け | 段目 |
このゲームで,次の各問の条件を満たす手譜が何通りあるかを考える.
問1.このゲームで何回かじゃんけんをして,自分が全て勝ったとする.その結果,段目にいるような手譜が何通りあるかを求めたい.ただし,じゃんけんの回数は何回でもよい.ある手譜で自分が全て勝ったとき何段登るかを求めるのに,相手の手を考える必要はない.例えば,手譜がじゃんけん回分の「チョキ,グー,パー」であれば,自分が全て勝ったとき段目にいる.
空欄にあてはまる数を答えなさい.
仮に「グー」を出し続けて勝ち続けたとする.そのとき,回勝てば段目にいる.したがって,「グー」だけを並べたじゃんけん回分の手譜は,全て勝ったとき段目にいる手譜である.
「チョキ」か「パー」で勝てば「グー」で勝ったときの倍の段登る.したがって,「グー」で回勝つ代わりに「チョキ」か「パー」で1回勝てば同じ段登る.このことから,
a. 「グー」が回と,「チョキ」か「パー」のどちらかが回現れるじゃんけん回分の手譜
b. 「グー」が回と,「チョキ」と「パー」が合わせて回現れるじゃんけん回分の手譜
も全て勝ったとき段目にいることが分かる.これら以外に,全て勝ったとき段目にいる手譜は存在しない.a.とb.の条件を満たす手譜が,それぞれ何通りあるかを考える.
a.の条件を満たす手譜「グー」が回と「チョキ」が回現れるじゃんけん回分の手譜には,例えば「グー,チョキ,グー,グー」がある.これを含めて,「グー」が回と「チョキ」が回現れるじゃんけん回分の手譜は通りある.これらの手譜の「チョキ」を「パー」と置き換えた手譜もa.の条件を満たすので,a.の条件を満たす手譜は全部で通りある.
b.の条件を満たす手譜「グー」が回と「チョキ」が回現れるじゃんけん回分の手譜は通りある.これらの手譜の「チョキ」回分のうちどちらか,または両方を「パー」と置き換えた手譜もb.の条件を満たすので,b.の条件を満たす手譜はの倍の数だけ存在する.
全て「グー」の手譜と,a.の条件またはb.の条件を満たす手譜を全て合わせると,全て勝ったとき段目にいる手譜は全部で通りある.
問2.全て勝ったとき段目にいる手譜は,「グー」が一つだけのじゃんけん回分の手譜の通りである.全て勝ったとき段目にいる手譜と段目にいる手譜がそれぞれいくつあるかも考える.空欄に入れるのに最も適当なものを下の解答群のうちから一つずつ選びなさい.また,空欄に当てはまる数を答えなさい.
全て勝ったとき段目にいる手譜 次の条件を満たす手譜だけが,全て勝ったとき段目にいる.
a. 全て勝ったとき段目にいる手譜の後にを追加した手譜
b. が一つだけのじゃんけん回分の手譜
条件a.を満たす手譜は通り,条件b.を満たす手譜は通りなので,合計通りある.
全て勝ったとき段目にいる手譜 次の条件を満たす手譜だけが,全て勝ったとき段目にいる.
a. 全て勝ったとき段目にいる手譜の後にを追加した手譜
b. 全て勝ったとき段目にいる手譜の後にを追加した手譜
全て勝ったとき段目にいる手譜は通りなので,条件a.を満たす手譜は通りある.全て勝ったとき段目にいる手譜は通りなので,条件b.を満たす手譜は通りある.したがって,全て勝ったとき段目にいる手譜は通りある.
の解答群
「グー」 | 「チョキ」 | 「パー」 | 「チョキ」か「パー」 |
問3.全て勝ったとき30段目にいる手譜が何通りあるか答えなさい.
問4.ちょうど回だけ負けて,それ以外は全て勝ったとき段目にいたとする.このときあり得る手譜は「グー,グー」,「グー,チョキ」,「グー,パー」,「チョキ,グー」,「パー,グー」の通りある.「グー,グー」は回目のじゃんけんで負けても回目のじゃんけんで負けても回目のじゃんけんの後に段目にいる.「グー,チョキ」と「グー,パー」は回目のじゃんけんで負けると,回目のじゃんけんの後に段目にいる.「チョキ,グー」と「パー,グー」は回目のじゃんけんで負けると,回目のじゃんけんの後に段目にいる.
(1) ちょうど回だけ負けて,それ以外は全て勝ったとき段目にいたとすると,このときあり得る手譜は通りある.このうち「グー」を含まない手譜を全て列挙しなさい.
(2) ちょうど回だけ負けて,それ以外は全て勝ったとき段目にいたとする.このときあり得る手譜は何通りあるか答えなさい.
問5.回じゃんけんをして,その結果段目にいたとする.ただし,何回目に勝ったかや,何回勝ったかは分からないとする.
はの倍数なのでとおく.で,かつが奇数のとき,このような手譜が何通りあるかをとの式で書きなさい.式には数列の総和を表す記号とや階乗の記号を残してもよい.
さらに,のとき,手譜が何通りあるか答えなさい.
表3:の累乗との累乗の値の表