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2020 高知工科大学 AO情報学群A数学,B数学共通

易□ 並□ 難□

【1】 関数 f( x) f (x)= x3+3 ax2+ a2 とし( a は定数), y=f (x) のグラフの概形について考える.以下の文章中の空欄 にあてはまる数をそれぞれ答えなさい.また,空欄 に入れるのに最も適当なものを下の解答群のうちから一つずつ選びなさい.

(1) まず,定数 a に具体的な値を代入して考えてみよう. a=-1 のときの関数 f (x) g (x) と呼ぶ. g(x )=x3 -3x2 + である.

 関数 g( x) x で微分すると, g (x)= 3x2- x である.ここで g (x) =0 を解くと x=0 x= を得る. y=g( x) のグラフの概形は である.

の解答群

2020年高知工科大AO情報A数学【1】2020118310501の図 2020年高知工科大AO情報A数学【1】2020118310501の図 2020年高知工科大AO情報A数学【1】2020118310501の図 2020年高知工科大AO情報A数学【1】2020118310501の図

(2) 次に,元の関数 f (x) について考えよう.

 関数 f (x) x で微分すると, f (x)= である. f (x)= 0 を解くと, x=0 x= を得る.これから,定数 a のいくつかの場合について, y=f( x) のグラフの概形を考える.

(ⅰ)  a= のとき, f (x)= 0 の解は重解となる. a= のときの y=f (x ) のグラフの概形は である.

(ⅱ)  a> のとき, f (x)= 0 の二つの解 0 を比較すると 0 の方が大きい.したがって,関数 f (x) x=0 において a> のときの y=f (x ) のグラフの概形は である.

の解答群

  2x2 +6x   3x2 -6x   3x2 +6a x   3x2 -6a x

の解答群

  2   -2   2a   -2a

の解答群

2020年高知工科大AO情報A数学【1】2020118310501の図 2020年高知工科大AO情報A数学【1】2020118310501の図 2020年高知工科大AO情報A数学【1】2020118310501の図 2020年高知工科大AO情報A数学【1】2020118310501の図

の解答群

 極大値をとる  極小値をとる  原点を通る

の解答群

2020年高知工科大AO情報A数学【1】2020118310501の図 2020年高知工科大AO情報A数学【1】2020118310501の図 2020年高知工科大AO情報A数学【1】2020118310501の図 2020年高知工科大AO情報A数学【1】2020118310501の図


2020 高知工科大学 AO情報学群A数学

B数学【4】の類題

易□ 並□ 難□

【2】 以下の問1〜2のすべてに解答しなさい.

表1:自分が登る段の数

  相手の手
 グー チョキ パー

グー 0 3 0
チョキ 0 0 6
パー 6 0 0

  2 人でじゃんけんをして,勝った方が自分の出した手によって決まった数だけ階段の段を登るゲームをする.負けた方は階段を登ることができず,あいこのときはどちらも階段を登ることができない.表1は自分と相手の手によって,自分が何段登れるかをまとめた表である.

 このゲームで何回かじゃんけんをしたときに,自分が出した手を並べたものを「手譜」と呼ぶことにしよう.手譜には自分の手しか記録されず,勝敗も記録されない.例えば, 4 回じゃんけんをして表2のようにゲームが進んだとしよう.このとき,自分の手譜はじゃんけん 4 回分の「チョキ,グー,グー,パー」である.

表2:ゲームの進行の例

自分の手 相手の手 自分の勝敗 自分の登る段 現在の位置
1 チョキ パー 勝ち 6 6 段目
2 グー グー あいこ 0 6 段目
3 グー チョキ 勝ち 3 9 段目
4 パー チョキ 負け 0 9 段目

 このゲームで,次の各問の条件を満たす手譜が何通りあるかを考える.

問1.このゲームで何回かじゃんけんをして,自分が全て勝ったとする.その結果, 15 段目にいるような手譜が何通りあるかを求めたい.ただし,じゃんけんの回数は何回でもよい.ある手譜で自分が全て勝ったとき何段登るかを求めるのに,相手の手を考える必要はない.例えば,手譜がじゃんけん 3 回分の「チョキ,グー,パー」であれば,自分が全て勝ったとき 15 段目にいる.

 空欄 にあてはまる数を答えなさい.

 仮に「グー」を出し続けて勝ち続けたとする.そのとき, 回勝てば 15 段目にいる.したがって,「グー」だけを並べたじゃんけん 回分の手譜は,全て勝ったとき 15 段目にいる手譜である.

 「チョキ」か「パー」で勝てば「グー」で勝ったときの 2 倍の段登る.したがって,「グー」で 2 回勝つ代わりに「チョキ」か「パー」で1回勝てば同じ段登る.このことから,

a. 「グー」が 3 回と,「チョキ」か「パー」のどちらかが 1 回現れるじゃんけん 4 回分の手譜

b. 「グー」が 1 回と,「チョキ」と「パー」が合わせて 2 回現れるじゃんけん 3 回分の手譜

も全て勝ったとき 15 段目にいることが分かる.これら以外に,全て勝ったとき 15 段目にいる手譜は存在しない.a.とb.の条件を満たす手譜が,それぞれ何通りあるかを考える.

a.の条件を満たす手譜「グー」が 3 回と「チョキ」が 1 回現れるじゃんけん 4 回分の手譜には,例えば「グー,チョキ,グー,グー」がある.これを含めて,「グー」が 3 回と「チョキ」が 1 回現れるじゃんけん 4 回分の手譜は 通りある.これらの手譜の「チョキ」を「パー」と置き換えた手譜もa.の条件を満たすので,a.の条件を満たす手譜は全部で 通りある.

b.の条件を満たす手譜「グー」が 1 回と「チョキ」が 2 回現れるじゃんけん 3 回分の手譜は 通りある.これらの手譜の「チョキ」 2 回分のうちどちらか,または両方を「パー」と置き換えた手譜もb.の条件を満たすので,b.の条件を満たす手譜は 倍の数だけ存在する.

 全て「グー」の手譜と,a.の条件またはb.の条件を満たす手譜を全て合わせると,全て勝ったとき 15 段目にいる手譜は全部で 21 通りある.

問2.全て勝ったとき 3 段目にいる手譜は,「グー」が一つだけのじゃんけん 1 回分の手譜の 1 通りである.全て勝ったとき 6 段目にいる手譜と 9 段目にいる手譜がそれぞれいくつあるかも考える.空欄 に入れるのに最も適当なものを下の解答群のうちから一つずつ選びなさい.また,空欄 に当てはまる数を答えなさい.

全て勝ったとき 6 段目にいる手譜 次の条件を満たす手譜だけが,全て勝ったとき 6 段目にいる.

a. 全て勝ったとき 3 段目にいる手譜の後に を追加した手譜

b.  が一つだけのじゃんけん 1 回分の手譜

条件a.を満たす手譜は 1 通り,条件b.を満たす手譜は 2 通りなので,合計 3 通りある.

全て勝ったとき 9 段目にいる手譜 次の条件を満たす手譜だけが,全て勝ったとき 9 段目にいる.

a. 全て勝ったとき 6 段目にいる手譜の後に を追加した手譜

b. 全て勝ったとき 段目にいる手譜の後に を追加した手譜

全て勝ったとき 6 段目にいる手譜は 3 通りなので,条件a.を満たす手譜は 3 通りある.全て勝ったとき 段目にいる手譜は 1 通りなので,条件b.を満たす手譜は 通りある.したがって,全て勝ったとき 9 段目にいる手譜は 通りある.

の解答群

 「グー」  「チョキ」  「パー」  「チョキ」か「パー」

2020 高知工科大学 AO情報学群B数学

易□ 並□ 難□

【2】 関数 f( x) f (x)= x3+3 x とし, k を実数の定数とする.二つの曲線 C1 y=f (x) C2 y=f (x-k )-8 がある点 (p ,q) で接する.すなわち,曲線 C1 C2 は点 (p ,q) を通り,かつ,曲線 C1 の点 (p ,q) における接線と曲線 C2 の点 (p ,q) における接線とが一致する.このとき k の値を求めよ.

2020 高知工科大学 AO情報学群B数学

易□ 並□ 難□

【3】 角の単位は弧度法とする.

2020年高知工科大AO情報学群B【3】202018310504の図

(1) 右の図を参考にして, 0<x< π2 において

sinx<x <tanx

であることを証明せよ.

(2) (1)の結果を用いて

limx0 sin xx= 1

を証明せよ.



2020 高知工科大学 AO情報学群B数学

A数学【2】の類題

易□ 並□ 難□

【2】 以下の問1〜5のすべてに解答しなさい.問3〜5は解答の家庭も記述しなさい.

 必要であれば, 2 の累乗と 3 の累乗の値は表3から求めてもよい.

表1:自分が登る段の数

  相手の手
 グー チョキ パー

グー 0 3 0
チョキ 0 0 6
パー 6 0 0

  2 人でじゃんけんをして,勝った方が自分の出した手によって決まった数だけ階段の段を登るゲームをする.負けた方は階段を登ることができず,あいこのときはどちらも階段を登ることができない.表1は自分と相手の手によって,自分が何段登れるかをまとめた表である.

 このゲームで何回かじゃんけんをしたときに,自分が出した手を並べたものを「手譜」と呼ぶことにしよう.手譜には自分の手しか記録されず,勝敗も記録されない.例えば, 4 回じゃんけんをして表2のようにゲームが進んだとしよう.このとき,自分の手譜はじゃんけん 4 回分の「チョキ,グー,グー,パー」である.

表2:ゲームの進行の例

自分の手 相手の手 自分の勝敗 自分の登る段 現在の位置
1 チョキ パー 勝ち 6 6 段目
2 グー グー あいこ 0 6 段目
3 グー チョキ 勝ち 3 9 段目
4 パー チョキ 負け 0 9 段目

 このゲームで,次の各問の条件を満たす手譜が何通りあるかを考える.

問1.このゲームで何回かじゃんけんをして,自分が全て勝ったとする.その結果, 15 段目にいるような手譜が何通りあるかを求めたい.ただし,じゃんけんの回数は何回でもよい.ある手譜で自分が全て勝ったとき何段登るかを求めるのに,相手の手を考える必要はない.例えば,手譜がじゃんけん 3 回分の「チョキ,グー,パー」であれば,自分が全て勝ったとき 15 段目にいる.

 空欄 にあてはまる数を答えなさい.

 仮に「グー」を出し続けて勝ち続けたとする.そのとき, 回勝てば 15 段目にいる.したがって,「グー」だけを並べたじゃんけん 回分の手譜は,全て勝ったとき 15 段目にいる手譜である.

 「チョキ」か「パー」で勝てば「グー」で勝ったときの 2 倍の段登る.したがって,「グー」で 2 回勝つ代わりに「チョキ」か「パー」で1回勝てば同じ段登る.このことから,

a. 「グー」が 3 回と,「チョキ」か「パー」のどちらかが 1 回現れるじゃんけん 4 回分の手譜

b. 「グー」が 1 回と,「チョキ」と「パー」が合わせて 2 回現れるじゃんけん 3 回分の手譜

も全て勝ったとき 15 段目にいることが分かる.これら以外に,全て勝ったとき 15 段目にいる手譜は存在しない.a.とb.の条件を満たす手譜が,それぞれ何通りあるかを考える.

a.の条件を満たす手譜「グー」が 3 回と「チョキ」が 1 回現れるじゃんけん 4 回分の手譜には,例えば「グー,チョキ,グー,グー」がある.これを含めて,「グー」が 3 回と「チョキ」が 1 回現れるじゃんけん 4 回分の手譜は 通りある.これらの手譜の「チョキ」を「パー」と置き換えた手譜もa.の条件を満たすので,a.の条件を満たす手譜は全部で 通りある.

b.の条件を満たす手譜「グー」が 1 回と「チョキ」が 2 回現れるじゃんけん 3 回分の手譜は 通りある.これらの手譜の「チョキ」 2 回分のうちどちらか,または両方を「パー」と置き換えた手譜もb.の条件を満たすので,b.の条件を満たす手譜は 倍の数だけ存在する.

 全て「グー」の手譜と,a.の条件またはb.の条件を満たす手譜を全て合わせると,全て勝ったとき 15 段目にいる手譜は全部で 21 通りある.

問2.全て勝ったとき 3 段目にいる手譜は,「グー」が一つだけのじゃんけん 1 回分の手譜の 1 通りである.全て勝ったとき 6 段目にいる手譜と 9 段目にいる手譜がそれぞれいくつあるかも考える.空欄 に入れるのに最も適当なものを下の解答群のうちから一つずつ選びなさい.また,空欄 に当てはまる数を答えなさい.

全て勝ったとき 6 段目にいる手譜 次の条件を満たす手譜だけが,全て勝ったとき 6 段目にいる.

a. 全て勝ったとき 3 段目にいる手譜の後に を追加した手譜

b.  が一つだけのじゃんけん 1 回分の手譜

条件a.を満たす手譜は 1 通り,条件b.を満たす手譜は 2 通りなので,合計 3 通りある.

全て勝ったとき 9 段目にいる手譜 次の条件を満たす手譜だけが,全て勝ったとき 9 段目にいる.

a. 全て勝ったとき 6 段目にいる手譜の後に を追加した手譜

b. 全て勝ったとき 段目にいる手譜の後に を追加した手譜

全て勝ったとき 6 段目にいる手譜は 3 通りなので,条件a.を満たす手譜は 3 通りある.全て勝ったとき 段目にいる手譜は 1 通りなので,条件b.を満たす手譜は 通りある.したがって,全て勝ったとき 9 段目にいる手譜は 通りある.

の解答群

 「グー」  「チョキ」  「パー」  「チョキ」か「パー」

問3.全て勝ったとき30段目にいる手譜が何通りあるか答えなさい.

問4.ちょうど 1 回だけ負けて,それ以外は全て勝ったとき 3 段目にいたとする.このときあり得る手譜は「グー,グー」,「グー,チョキ」,「グー,パー」,「チョキ,グー」,「パー,グー」の 5 通りある.「グー,グー」は 1 回目のじゃんけんで負けても 2 回目のじゃんけんで負けても 2 回目のじゃんけんの後に 3 段目にいる.「グー,チョキ」と「グー,パー」は 2 回目のじゃんけんで負けると, 2 回目のじゃんけんの後に 3 段目にいる.「チョキ,グー」と「パー,グー」は 1 回目のじゃんけんで負けると, 2 回目のじゃんけんの後に 3 段目にいる.

(1) ちょうど 1 回だけ負けて,それ以外は全て勝ったとき 6 段目にいたとすると,このときあり得る手譜は 15 通りある.このうち「グー」を含まない手譜を全て列挙しなさい.

(2) ちょうど 1 回だけ負けて,それ以外は全て勝ったとき 30 段目にいたとする.このときあり得る手譜は何通りあるか答えなさい.

問5. N 回じゃんけんをして,その結果 M 段目にいたとする.ただし,何回目に勝ったかや,何回勝ったかは分からないとする.

  M 3 の倍数なので M=3 m とおく. Nm2 N で,かつ m が奇数のとき,このような手譜が何通りあるかを m N の式で書きなさい.式には数列の総和を表す記号とや階乗の記号を残してもよい.

 さらに, N=8 M=27 のとき,手譜が何通りあるか答えなさい.

表3: 2 の累乗と 3 の累乗の値の表

21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32 26 = 64 27 = 128 28 = 256 29 = 512 210 = 1,024 211 = 2,048 212 = 4,096 213 = 8,192 214 = 16,384 215 = 32,768 216 = 65,536 217 = 131,072 218 = 262,144 219 = 524,288 220 = 1.048,576 31 = 3 32 = 9 33 = 27 34 = 81 35 = 243 36 = 729 37 = 2,187 38 = 6,561 39 = 19.683 310 = 59,049 311 = 177,147 312 = 531,441 313 = 1,594,323 314 = 4,782,969 315 = 14.348,907 316 = 43.046,721 317 = 129.140,163 318 = 387,420,489 319 = 1,162,261,467 320 = 3,486.784,401
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