2020　北九州市立大学　前期MathJax

【１】　元金$c$を年利率$r$の複利法で金融機関に$m$年間預けると，預金総額は$c{(1+r)}^m$になる．ただし，$m$は正の整数である．つぎの問題に答えよ．

(1)　年利率$r=0.1$で$4$年後の預金総額が$292820$となるとき，最初に預けた元金を求めよ．

　また，あるベンチャー企業の$n$年目の収益を$a_n$とする．ただし，$n$は正の整数である．この企業は毎年の収益を年利率$r$の複利法で金融機関にすべて預けることにした．ただし，数列$\{a_n\}$は初項$a_1=a\text{，}$公差$d$の等差数列とする．さらに，$n$年目までの預金の合計と$n$年目の収益$a_n$の和を$S_n$とし，$S_1=a_1$とする．また，数列$\{S_n\}$の階差数列$\{T_n\}$を

$T_n=S_{n+1}-S_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とおく．以下の問題に答えよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を$a\text{，}$$d\text{，}$$n$を用いて表せ．

(3)　$S_{n+1}$を$S_n\text{，}$$a_{n+1}\text{，}$$r$を用いて表せ．

(4)　$a=d$のとき，数列$\{T_n\}$の一般項を$a\text{，}$$r\text{，}$$n$を用いて表せ．

(5)　$a=d$のとき，数列$\{S_n\}$の一般項を$a\text{，}$$r\text{，}$$n$を用いて表せ．

(注意)　複利法とは元金に対する利子を元金に繰り入れ，次期の元金に対する利子を計算する方法である．

【２】　座標平面上の放物線$C\text{：}y=x^2+2$と点$\mathrm{A}$$(0,2)$を考える．放物線上の点$\mathrm{T}$$(t,t^2+2)$での接線を$l$とし，直線$l$と$y$軸との交点を$\mathrm{P}$とする．ただし，$t>0$である．点$\mathrm{A}$から直線$l$へ下ろした垂線を$\mathrm{AQ}$とし，直線$\mathrm{AQ}$を$m$とする．直線$m$と放物線$C$との交点で点$\mathrm{A}$以外のものを点$\mathrm{R}$とする．また，放物線$C$と直線$l$と$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，三角形$\mathrm{ARP}$の面積を$S_2$とする．以下の問題に答えよ．

(1)　直線$l$の式を$t$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{AQ}$の長さを$t$を用いて表せ．

(3)　面積$S_1$を$t$を用いて表せ．

(4)　三角形$\mathrm{APQ}$の面積が$S_1$の半分であるとき，$t$の値を求めよ．

(5)　$t$が${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}$の範囲を動くとき，$S_2-S_1$の最大値と最小値を求めよ．

【３】　座標平面で原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円を$C_1$とし，点$\mathrm{A}$$(2,0)$を中心とする半径$1$の円を$C_2$とする．直線$l$はこの$2$円と第$1$象限の$2$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$で接しているとする．ただし，$\mathrm{B}$は円$C_2$上の点で，$\mathrm{C}$は円$C_1$上の点である．また，直線$m$は原点を通り第$1$象限の異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$で円$C_2$と交わるとする．さらに，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{\angle AOP}=\theta$とする，以下の問題に答えよ．

(1)　$\theta$の値の範囲を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．

(3)　線分$\mathrm{PQ}$の長さを$\theta$を用いて表せ．

(4)　点$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表し，$\theta$が(1)の範囲を動くとき点$\mathrm{R}$の軌跡を求めよ．

(5)　$\theta$が(1)の範囲を動くとき線分$\mathrm{BR}$の長さの最小値を求めよ．

【４】　あるスポーツイベントのチケットを購入したいと考えている．そのイベントは人気があり，抽選で当選しないとチケットを購入することができない．$\mathrm{A}$社に申し込んだときの当選確率$P_{\mathrm{A}}(T)$は$40\mathrm{\%}\text{，}$$\mathrm{B}$社に申し込んだときの当選確率$P_{\mathrm{B}}(T)$は$30\mathrm{\%}\text{，}$$\mathrm{C}$社に申し込んだときの当選確率$P_{\mathrm{C}}(T)$は$20\mathrm{\%}$であり，$3$つの会社の間で当選は互いに独立であるとする．また，そのイベントのチケット発行枚数は非常に多く，友人間の当選も互いに独立であるとする．$\mathrm{A}$社に申し込み当選しない確率を$P_{\mathrm{A}}(\bar{T})$と表し，$\mathrm{B}$社と$\mathrm{C}$社についても同様に申し込み当選しない確率をそれぞれ$P_{\mathrm{B}}(\bar{T})\text{，}$$P_{\mathrm{C}}(\bar{T})$と表す．以下の問題に答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$社に申し込んだが当選しない確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$社と$\mathrm{B}$社に申し込み，$\mathrm{A}$社のみに当選する確率を求めよ．

(3)　$3$社すべてに申し込み，少なくとも$1$社に当選する確率を求めよ．

(4)　友人$4$人で$\mathrm{A}$社に申し込んだとき，その内いずれか$2$人が当選する確率を求めよ．

さらに，$\mathrm{B}$社と$\mathrm{C}$社で当選か否かの通知が来るのは，$\mathrm{B}$社が先に来る確率$Q(\mathrm{B})$は$40\mathrm{\%}\text{，}$$\mathrm{C}$社が先に来る確率$Q(\mathrm{C})$は$60\mathrm{\%}$であるとする．ただし，通知が来るタイミングとそれが当選か否かとは独立であるとする．以下の問題に答えよ．

(5)　$\mathrm{B}$社と$\mathrm{C}$社に申し込み$1$社から先に通知が届いた．その通知が当選である確率を求めよ，

(6)　(5)において届いた当選通知が$\mathrm{B}$社から届いたものである確率を求めよ．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問１　$4x^2+20xy+25y^2\text{，}$$-27x^3+12x{y}^2$をそれぞれ因数分解すると$\text{ア}$と$\text{イ}$である．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問２　$2$次関数$y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+4x-3$$\text{（}0\leqq x\leqq 6\text{）}$の最大値は$\text{ウ}\text{，}$最小値は$\text{エ}$である．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問３　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{AC}=2\text{，}$$\mathrm{\angle A}=90\mathrm{°}$とし，$\mathrm{\angle A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{▵ABD}$の面積は$\text{オ}\text{，}$線分$\mathrm{AD}$の長さは$\text{カ}$である．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問４　女子$2$人と男子$4$人が円形のテーブルに向かって座るとき，女子$2$人が向かい合うような座り方の総数は$\text{キ}\text{，}$女子$2$人が隣り合わないような座り方の総数は$\text{ク}$である．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問５　最大公約数が$9$で，最小公倍数が$135$であるような$2$つの正の整数の組は$9$と$135\text{，}$$\text{ケ}$と$\text{コ}$の$2$組である．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問１　$2$次方程式$2x^2-mx-54=0$（$m$は実数）の$1$つの解が，他の解の$2$乗に等しいとき，定数$m$の値は$\text{サ}$である．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問２　円$x^2+y^2-6x-6y+9=0$と直線$y=x+m$（$m$は実数）が異なる$2$点で交わるとき，定数$m$の値の範囲は$\text{シ}$である．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問３　$\sin \theta +\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$\sin \theta \cos \theta$の値は$\text{ス}$であり，$\tan \theta +{\displaystyle \frac{1}{\tan \theta }}$の値は$\text{セ}$である．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問４　${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とするとき，${\log }_{10}12=\text{ソ}$であり，${12}^{100}$は$\text{タ}$桁の整数である．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問５　$n=120$のとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}}$の値は$\text{チ}$である．

【３】　曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{x^3}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{2x}}$$\text{（}x>0\text{）}$について以下の問いに答えよ．答えを導く過程も示すこと．

問１　曲線$C$を表す関数の極値を求めよ．

問２　曲線$C$と直線$l\text{：}y={\displaystyle \frac{11}{12}}z-{\displaystyle \frac{1}{4}}$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

問３　問２で示した図形の周りの長さ$L$を求めよ．

【４】　点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}$$(1,1,2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(6,2,2)\text{，}$$\mathrm{C}$$(6,18,-3)$がある．以下の問いに答えよ．答えを導く過程も示すこと．

問１　点$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$に垂直な平面$\alpha$上の点$\mathrm{P}$$(x,y,z)$を考える．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$の内積の関係より$x\text{，}$$y\text{，}$$z$が満たす方程式を求めよ．

問２　点$\mathrm{P}$が直線$\mathrm{OB}$と平面$\alpha$の交点であるとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

問３　直線$\mathrm{OC}$と平面$\alpha$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$のなす角を$\theta$とおくとき，$\cos \theta$の値を求めよ．ただし，点$\mathrm{P}$は問２で定めた点とする．

問４　四面体$\mathrm{OAPQ}$の体積を求めよ．ただし，点$\mathrm{P}\text{，}$点$\mathrm{Q}$は問２，問３で定めた点とする．