2020　東北学院大学　前期文系全学部MathJax

【１】　放物線$C\text{：}y=x^2-2ax-2a+4$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数である．

(ⅰ)　放物線$C$の頂点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(ⅱ)　放物線$C$が$x$軸に接するとき，定数$a$の値を求めよ．

(ⅲ)　放物線$C$と$x$軸が異なる$2$点で交わり，それらの$x$座標が$0$より大きく$2$より小さいとき，定数$a$の値の範囲を求めよ．

【２】　$\sqrt{3}+\sqrt{5}$は無理数であることを示せ．ただし，$\sqrt{3}$と$\sqrt{5}$が共に無理数であることは証明なしに用いてよい．

【３】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　等式$\tan ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}-\theta )={\displaystyle \frac{1-\tan \theta }{1+\tan \theta }}$を示せ．

(ⅱ)　$(1+\tan {\displaystyle \frac{\pi }{5}})(1+\tan {\displaystyle \frac{\pi }{6}})(1+\tan {\displaystyle \frac{\pi }{12}})(1+\tan {\displaystyle \frac{\pi }{20}})$の値を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a$を定数とするとき，関数$f(x)$の$x=a$における微分係数$f^{\prime }(a)$の定義を述べよ．

(ⅱ)　(ⅰ)で述べた定義にしたがって，関数$f(x)=2x^3-5x+4$の$x=3$における微分係数$f^{\prime }(3)$を求めよ．

【５】　$6$桁の自然数のうち，ちょうど$2$種類の数字から成り立っているものの個数を求めよ．

【６】　平面上の三角形$\mathrm{OAB}$において$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\mathrm{\angle AOB}$の二等分線のベクトル方程式を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$と実数$t$を用いて表せ．

(ⅱ)　$\mathrm{\angle AOB}$の二等分線と$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{M}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$で表せ．