2020　東北学院大学　前期工学部全学部MathJax

【１】　次の各問題の$$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅰ)　$\sin (\pi {\log }_8(\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right))=\text{(ア)}$である．

【１】　次の各問題の$$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅱ)　$2^x=3^y=5^z=\sqrt[3]{30}$のとき，${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}+{\displaystyle \frac{1}{z}}=\text{(イ)}$である．

【１】　次の各問題の$$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅲ)　$3$つの正の整数$n\text{，}$$45\text{，}$$147$の最小公倍数が$15435$である．この条件を満たす$n$は$\text{(ウ)}$個ある．

【２】　数列$\{a_n\}$を$a_1=9\text{，}$$a_{n+1}=3^{6n-9}{(a_n)}^3$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$により定め，$b_n={\log }_3{a}_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$b_{n+1}$を$b_n$で表せ．

(ⅱ)　$b_{n+1}+\alpha (n+1)+\beta =3(b_n+\alpha n+\beta )$となる定数$\alpha \text{，}$$\beta$を求めよ．

(ⅲ)　(ⅱ)を用いて$b_n$の一般項を求めよ．

【３】　関数$f(x)=|x^2-t^2|$について以下の問いに答えよ．ただし，$t$は$t>0$を満たす実数とする．

(ⅰ)　$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(ⅱ)　関数$g(t)={\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(x)\mathit{dx}$を求めよ．ただし，$t$の値により場合分けすること．

(ⅲ)　(ⅰ)で求めた$g(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

【４】　関数$f(x)={(x-1)}^2{e}^{-x}$について以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(ⅱ)　$y=f(x)$のグラフの概形を描け．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=0$を用いてもよい．

(ⅲ)　$x$軸と$y$軸および$y=f(x)$のグラフで囲まれた部分の面積を求めよ．