2020　東北学院大学　前期分割文，経済，経営，法，教養学部2月2日MathJax

【１】　半径$14$の円に内接する三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{AC}=5:7:8$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\cos \mathrm{\angle ABC}$および$\sin \mathrm{\angle ABC}$の値を求めよ．

(ⅱ)　$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．

(ⅲ)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．

【２】　$x$に関する$2$次不等式

$4x^2-(4t^2+4t+5)x+4t^3+5t\leqq 0$$\cdots$(1)

について，次の問いに答えよ．ただし，$t$は定数である．

(ⅰ)　不等式(1)を解け．

(ⅱ)　任意の実数$t$に対して，不等式(1)をみたす整数$x$が存在することを示せ．

【３】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　等式$\sin 3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$を示せ．

(ⅱ)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{5}}$のとき，$\sin 3\theta =\sin 2\theta$を示せ．

(ⅲ)　$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}}$の値を求めよ．

【４】　関数$y=x^2-12x+5$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　この関数の極値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

(ⅱ)　$-t\leqq x\leqq t$におけるこの関数の最大値および最小値を求めよ．ただし，$t>0$とする．

【５】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$4a^2-b^2+6b-9$を因数分解せよ．

(ⅱ)　$4a^2-b^2+6b-9=27$となる自然数$a\text{，}$$b$の値の組をすべて求めよ．

【６】　数列$\{a_n\}$を初項$3\text{，}$公差$2$の等差数列とする．$2$以上の自然数$n$に対して，初項から第$n$項までの$n$個の項のうち，異なる$2$項の積をすべてとり，それらの和を$T_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$T_3$を$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3$を用いて表し，その値を求めよ．

(ⅱ)　${(a_1+a_2+a_3)}^2$の値を求めよ．

(ⅲ)　$T_n$を$n$を用いて表せ．