2020　東北学院大学　前期工(情報基礎工学科)学部数学選択MathJax

【１】　${(7x+y)}^{25}$の展開式における$x^{25-k}{y}^k$の係数を$a_k$$\text{（}k=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$25\text{）}$とするとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a_{23}$の値を求めよ．

(ⅱ)　$1\leqq k\leqq 25$のとき，${\displaystyle \frac{a_k}{a_{k-1}}}$を$k$を用いて表せ．

(ⅲ)　$a_k$が最大になるときの$x$の次数を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$を次のように定める．

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=\{\begin{array}{ll}2a_n& \text{（}n\text{が奇数のとき）}\\ a_n+1& \text{（}n\text{が偶数のとき）}\end{array}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4\text{，}$$a_5$を求めよ．

(ⅱ)　$\{a_{2n}\}$の一般項を求めよ．

(ⅲ)　$\{a_{2n-1}\}$の一般項を求めよ．

【３】　$\mathrm{TG}$工場ではある機械を製造している．この機械は$3$つの部品$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$からできており，これら$3$つのうち$1$つでも不良品であれば機械は動作しない．部品$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が不良品である確率をそれぞれ$2\mathrm{\%}\text{，}$$3\mathrm{\%}\text{，}$$4\mathrm{\%}$とする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　無作為に$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を$1$つずつ取り出したとき，$\mathrm{A}$のみが不良品である確率を求めよ．

(ⅱ)　製造された機械が動かない確率を求めよ．

(ⅲ)　機械が動かなかったとき，原因が部品$\mathrm{A}$のみが不良品であることによる確率を求めよ．