2020　青山学院大学　全学部日程文系MathJax

(a)　各人がコインを$2$枚ずつ投げ，表の出た枚数が最も多い人を$1$回戦の勝ち残りとする．たとえば，表を$1$枚出した人が$2$人で残りの$1$人は$2$枚とも裏のときは，表を$1$枚出した$2$人が勝ち残る．$1$回戦の勝ち残りが$1$人のときはその人を優勝者とし，ゲームを終了する．

(b)　$1$回戦の勝ち残りが$2$人または$3$人のときは，勝ち残った人でもう一度コインを$2$枚ずつ投げ，表が出た枚数が最も多い人を$2$回戦の勝ち残りとする．$2$回戦の勝ち残りが$1$人のときはその人を優勝者とし，ゲームを終了する．

(1)　$1$回戦で$\mathrm{A}$が優勝する確率は${\displaystyle \frac{\text{7}\text{8}}{\text{9}\text{10}}}$である．

(2)　$1$回戦の勝ち残りがちょうど$2$人である確率は${\displaystyle \frac{\text{11}\text{12}}{\text{13}\text{14}}}$である．

(3)　$1$回戦で$2$人勝ち残ったとき，$2$回戦で優勝者が決まる確率は${\displaystyle \frac{\text{15}}{\text{16}}}$である．

(4)　$2$回戦で優勝者が決まる確率は${\displaystyle \frac{\text{17}\text{18}\text{19}}{\text{20}\text{21}\text{22}\text{23}}}$である．

　このとき，

$\cos \mathrm{\angle OAP}={\displaystyle \frac{\text{24}\text{25}}{\text{26}\text{27}}}\text{，}$$\sin \mathrm{\angle OAP}={\displaystyle \frac{\text{28}}{\text{29}\text{30}}}$

である．さらに，線分$\mathrm{AQ}$の長さは，${\displaystyle \frac{\text{31}\text{32}\text{33}}{\text{34}\text{35}}}$であり，三角形$\mathrm{QAB}$の面積は，${\displaystyle \frac{\text{36}\text{37}\text{38}\text{39}}{\text{40}\text{41}\text{42}}}$である．

(1)　$f^{\prime }(x)=0$を満たす$x$の値は，$\text{43}\text{44}$と$\text{45}$である．

(2)　$a\geqq 0$を満たす定数$a$に対して，方程式

$|f(x)|=a$

の異なる実数解の個数は，$a$の値で場合分けをすると次のようになる．

$a=0$のとき$\text{46}$個である．

$0<a<{\displaystyle \frac{\text{47}}{\text{48}}}$のとき$\text{49}$個である．

$a={\displaystyle \frac{\text{47}}{\text{48}}}$のとき$\text{50}$個である．

${\displaystyle \frac{\text{47}}{\text{48}}}<a<\text{51}\text{52}$のとき$\text{53}$個である，

$a=\text{51}\text{52}$のとき$\text{54}$個である．

$a>\text{51}\text{52}$のとき$\text{55}$個である．