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2020-13301-0201
2020 青山学院大学 全学部日程理系
2月7日実施
易□ 並□ 難□
【1】
(1) ∠A=π 2 である直角三角形 ABC において, AB=4 , cos⁡∠C= 79 のとき, BC= 1 ⁢ 2 3 , AC= 4 ⁢ 5 6 である.また BC の中点を D とするとき,三角形 ACD の内接円の半径は 7 8 である.
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(2) ∠A=π 2 である直角三角形 ABC において, AB=16 であり, BC, AC がともに整数で AB<AC を満たすとき,
(BC,AC )=( 9 10 , 11 12 ) または ( 13 14 , 15 16 )
である.ただし, 9 10 < 13 14 とする.
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【2】 次の定積分と極限値を求めよ.
(1) ∫03 log⁡( x2+1) ⁢dx= 17 ⁢3⁢ log⁡2- 18 ⁢3+ 19 20 ⁢ π
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(2) limn→∞ 1n ⁢ ∑k=1 n1 n+k= 21 ⁢ 22 - 23
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【3】 辺の長さが OA=5 , OB=9 , AB=10 である三角形 OAB において,辺 AB の中点を M , 頂点 B から直線 OA に下ろした垂線と OA との交点を P , 直線 OM と BP の交点を Q とする.
(1) OA→⋅ OB→= 24 である.
(2) OP→= 25 26 27 ⁢OA→ である.
(3) OQOM = 28 29 30 , BQBP = 31 32 33 34 である.
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【4】 1 個のサイコロをくり返し投げ,次のルールに従って数直線上の点 P を 8 を目指して動かすゲームを考える.
・点 P が 8 より左にあるときは,出た目の数だけ右に動かす.たとえば,点 P が 6 にあって出た目の数が 3 ならば 9 に動かす.
・点 P が 8 より右にあるときは,出た目の数だけ左に動かす.
・点 P が 8 に動いたときにゲームは終了する.
最初に点 P は原点にあるとする.サイコロをちょうど n 回投げたときにゲームが終了する確率を pn とする.
(1) p2= 35 36 37 , p3= 38 39 40 41 42 である.
(2) n≧4 に対して pn= 43 44 45 46 47 ⁢ ( 48 49 ) n である.
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【5】 r を正の数とし,曲線 y=2⁢ x (x≧ 0) 上の点 (t ,2⁢t ) を中心とする半径 r の円を Ct とする.
(1) 円 Ct が x 軸と共有点をもつのは, 0≦t≦ 50 51 ⁢r2 のときである.
ここで,円 Ct と x 軸の共有点の x 座標のうち最大のものを f⁡ (t) とする.ただし,共有点が 1 個のときはその点の x 座標を f⁡ (t) とする.正の数 r に対し, t が(1)の範囲を動くときの f⁡( t) の最大値を M とする.
(2) r=3 であれば, M= 52 53 54 であり,そのときの t の値は t= 55 56 である.
(3) r=1 であれば, M= 57 であり,そのときの t の値は t= 58 である.