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2020-13301-0301
2020 青山学院大学 理工学部A方式
2月10日実施
易□ 並□ 難□
【1】 z=cos⁡ 23⁢π +i⁢sin⁡ 23 ⁢π , w=2⁢z とおく. 1 個のサイコロを投げ,出た目にしたがって下の表のように z , z-1 , w, w-1 のいずれかの複素数を選ぶ.
(1) 1 個のサイコロを 3 回投げて選んだ 3 つの複素数の積が 1 となる確率は 1 2 3 である.
(2) 1 個のサイコロを 3 回投げて選んだ 3 つの複素数の積の絶対値が 1 となる確率は 4 5 6 である.
(3) 1 個のサイコロを 5 回投げて選んだ 5 つの複素数の積が 1 となる確率は 7 8 9 10 11 である.
2020-13301-0302
【2】 右図のような, 1 辺の長さが 1 の立方体 ABCD‐EFGH がある.
線分 EF を 2:1 に内分する点を P , 線分 CD の中点を Q とし, 3 点 A , P , Q を通る平面を α とする.
平面 α と直線 FG , CG, GH の交点をそれぞれ R , S , T とする.
(1) FR→= 12 13 ⁢ FG→ , CS→= 14 15 ⁢ CG→ , HT→= 16 17 ⁢ HG→ である.
(2) 三角形 RST の面積は 18 19 20 21 22 である.
2020-13301-0303
【3】 三角形 ABC の 3 辺の長さは AB=1 , BC=2 , CA=3 であるとする.
辺 BC の中点を D とし,辺 AB 上の点 P と,辺 AC 上の点 Q を, ∠PDQ= π3 となるようにとる.ただし,この条件を満たす限り,点 P は頂点 A , B のいずれかに一致してもよく,点 Q は頂点 A , C のいずれかに一致してもよいものとする.
∠BDP=θ とするとき,以下の問に答えよ.
(1) θ のとりうる値の範囲を求めよ.
(2) PD, QD の長さを θ を用いて表せ.
(3) 三角形 PDQ の面積 S を θ を用いて表せ.
(4) θ が(1)で求めた範囲を動くときの三角形 PDQ の面積 S の最大値と最小値を求めよ.
2020-13301-0304
【4】 F (0,2 ), F′ (0,-2 ) を焦点とする楕円
C:x2 +y2 5=1
を考える.
実数 k に対し,点 F を通る直線
y=k⁢x+ 2
と楕円 C との交点のうち, x 座標が正のものを P , 負のものを Q とし,三角形 F ′PQ の面積を S とする.
(1) 面積 S を k を用いて表せ.
(2) k が実数全体を動くときの S の最大値を求めよ.また,この最大値を与えるような k の値を求めよ.
(3) k が(2)で求めた値のとき,三角形 F ′PQ の内接円の半径を求めよ.
2020-13301-0305
【5】 関数 f⁡( x)= 1x2+1 について,以下の問に答えよ.
(1) y=f⁡( x) のグラフの概形を描け.凹凸も調べること.
(2) 原点を O とし, y=f⁡( x) のグラフの変曲点のうち x 座標が正のものを P とする.直線 OP と y 軸, y=f⁡( x) のグラフとで囲まれた図形を D とする. D の面積 S を求めよ.
(3) (2)の図形 D を y 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積 V を求めよ.