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2020 青山学院大学 理工学部A方式

2月10日実施

易□ 並□ 難□

【1】  z=cos 23π +isin 23 π w=2z とおく. 1 個のサイコロを投げ,出た目にしたがって下の表のように z z-1 w w-1 のいずれかの複素数を選ぶ.

出た目 1 2 3 4 5 6
複素数 z z z-1 w w w-1

(1)  1 個のサイコロを 3 回投げて選んだ 3 つの複素数の積が 1 となる確率は 1 2 3 である.

(2)  1 個のサイコロを 3 回投げて選んだ 3 つの複素数の積の絶対値が 1 となる確率は 4 5 6 である.

(3)  1 個のサイコロを 5 回投げて選んだ 5 つの複素数の積が 1 となる確率は 7 8 9 10 11 である.

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2020年青山学院大2月10日実施理工学部A方式【2】2020133010302の図

【2】 右図のような, 1 辺の長さが 1 の立方体 ABCD‐EFGH がある.

 線分 EF 2:1 に内分する点を P 線分 CD の中点を Q とし, 3 A P Q を通る平面を α とする.

 平面 α と直線 FG CG GH の交点をそれぞれ R S T とする.

(1)  FR= 12 13 FG CS= 14 15 CG HT= 16 17 HG である.

(2) 三角形 RST の面積は 18 19 20 21 22 である.



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【3】 三角形 ABC 3 辺の長さは AB=1 BC=2 CA=3 であるとする.

 辺 BC の中点を D とし,辺 AB 上の点 P と,辺 AC 上の点 Q を, ∠PDQ= π3 となるようにとる.ただし,この条件を満たす限り,点 P は頂点 A B のいずれかに一致してもよく,点 Q は頂点 A C のいずれかに一致してもよいものとする.

  ∠BDP=θ とするとき,以下の問に答えよ.

(1)  θ のとりうる値の範囲を求めよ.

(2)  PD QD の長さを θ を用いて表せ.

(3) 三角形 PDQ の面積 S θ を用いて表せ.

(4)  θ が(1)で求めた範囲を動くときの三角形 PDQ の面積 S の最大値と最小値を求めよ.

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【4】  F (0,2 ) F (0,-2 ) を焦点とする楕円

Cx2 +y2 5=1

を考える.

 実数 k に対し,点 F を通る直線

y=kx+ 2

と楕円 C との交点のうち, x 座標が正のものを P 負のものを Q とし,三角形 F PQ の面積を S とする.

(1) 面積 S k を用いて表せ.

(2)  k が実数全体を動くときの S の最大値を求めよ.また,この最大値を与えるような k の値を求めよ.

(3)  k が(2)で求めた値のとき,三角形 F PQ の内接円の半径を求めよ.

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【5】 関数 f( x)= 1x2+1 について,以下の問に答えよ.

(1)  y=f( x) のグラフの概形を描け.凹凸も調べること.

(2) 原点を O とし, y=f( x) のグラフの変曲点のうち x 座標が正のものを P とする.直線 OP y 軸, y=f( x) のグラフとで囲まれた図形を D とする. D の面積 S を求めよ.

(3) (2)の図形 D y 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積 V を求めよ.

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