2020　青山学院大学　理工学部B方式MathJax

(1)　$\mathrm{AE}=x$とおくと，$x={\displaystyle \frac{\text{7}}{\text{8}}}$であり，

$\overrightarrow{\mathrm{AE}}={\displaystyle \frac{\text{9}}{\text{10}}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AF}}={\displaystyle \frac{\text{11}}{\text{12}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{BD}}}={\displaystyle \frac{\text{13}}{\text{14}}}$

である．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表すと，

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}={\displaystyle \frac{\text{15}}{\text{16}\text{17}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{\text{18}\text{19}}{\text{20}\text{21}}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

である．

(3)　これらのことから

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}={\displaystyle \frac{\text{22}\text{23}}{\text{24}\text{25}}}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$

であることがわかる．

・点$\mathrm{P}$を，大きなサイコロの出た目の数の長さだけ時計回りに移動させる．

・点$\mathrm{Q}$を，小さなサイコロの出た目の数の長さだけ反時計回りに移動させる．

例えば，$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$がともに右図の頂点$\mathrm{C}$にあり，大きなサイコロの出た目の数が$3\text{，}$小さなサイコロの出た目の数が$5$ならば，点$\mathrm{P}$を$\mathrm{G}$に，$\mathrm{Q}$を$\mathrm{A}$に移動させる．

　$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$は最初頂点$\mathrm{A}$にあるとし，上の操作を$n$回繰り返した後に$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が同じ頂点にある確率を$p_n$とおく．

(1)　$p_1$を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が異なる頂点にあるとき，次の操作の後に$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が同じ頂点にある確率を求めよ．

(3)　$p_2$を求めよ．

(4)　数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．

(＊)　複素数平面上の$3$点$0\text{，}$$z\text{，}$${(z+1)}^2$は一直線上にある．

　解答にあたって，次の事実を用いてよい．

　複素数平面上の互いに異なる$3$点$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$に対し，${\displaystyle \frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }}$が実数であることは，$3$点$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$が一直線上にあるための必要十分条件である．

$f(x)={\displaystyle \frac{\cos x}{2+\sin x}}$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$

に関して次の問に答えよ．

(1)　$y=f(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$のグラフの概形を描け，凹凸も調べること．

(2)　$y=f(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$のグラフと$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．