2020　学習院大学　理（コア），文（プラス）学部MathJax

【１】　$2$つの条件

${\displaystyle \frac{z-1}{z}}$の偏角は${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$\left|z\right|={\displaystyle \frac{1}{2}}$

を同時に満たす複素数$z$の実部と虚部を求めよ．

　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

【２】　$n$を自然数とする．$1$から$n$までの数がもれなく$1$つずつ書かれた$n$枚のカードがある．これら$n$枚のカードから無作為に$1$枚引き，書かれている数を記録してカードを元に戻す．

　この作業を$n$回繰り返し，記録された数を$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$とする．このとき，$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$の最大値が$n$であり，かつ最小値が$1$である確率を$P_n$とする．

(1)　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$の中に，$n$が現れない確率を求めよ．

(2)　$P_n$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_n$を求めよ．ただし，任意の実数$x$について$\underset{n\to \infty }{\lim }{(1+{\displaystyle \frac{x}{n}})}^n=e^x$であることを用いてもよい．

　この問題については，答えだけでなく，答えを導く過程も書くこと．

【３】　命題

「実数$x\text{，}$$y$が$y>x^2-x+2$を満たすならば$y>|x-a|$が成り立つ」

が真であるような実数$a$の範囲を求めよ．

　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

【４】　実数$x$の関数

$f(x)=\sqrt{x^2+1}+{\displaystyle \frac{4}{\sqrt{x^2+1}}}$

を考える．

(1)　$f(x)$の極大値，極小値とそれらを与える$x$をすべて求めよ．

(2)　$y=f(x)$のグラフと$2$直線$x=-1\text{，}$$x=1$および$x$軸とで囲まれた領域を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

　この問題については，答えだけでなく，答えを導く過程も書くこと．