2020　学習院大学　法（コア），国際社会科（プラス）学部MathJax

【１】　$a$を実数とし，$2$つの放物線

$C_1\text{：}y=x^2+1\text{，}$$C_2\text{：}y=1-2{(x-1)}^2$

と$2$つの直線$x=a\text{，}$$x=a+1$とで囲まれる図形の面積を$S$とする．

(1)　$S$を求めよ．

(2)　$a$が実数全体を動くとき，$S$の最小値と最小値を与える$a$の値を求めよ．

　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

【２】　$a$を$0$でない実数とする．等式

${\displaystyle \frac{a}{x+1}}-{\displaystyle \frac{1}{a(x-1)}}=2a$

を満たす実数$x$が存在するような$a$の範囲を求めよ．

　この問題については，答えだけでなく，答えを導く過程も書くこと．

【３】　自然数$n$に対して

$f_n(x)={\sin }^{n}x+{\cos }^{n}x$

とおく．

(1)　すべての実数$x$に対して

$f_6(x)=a{f}_4(x)+b$

を満たすような実数$a\text{，}$$b$を求めよ．

(2)　すべての実数$x$に対して

$f_8(x)=p{f_4(x)}^2+q{f}_4(x)+r$

を満たすような実数$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を求めよ．

　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

【４】　$3$つのさいころを投げ，出た目の和を$S\text{，}$出た目の最大値を$M$とする．このとき，$S<2M$となる確率を求めよ．

　この問題については，答えだけでなく，答えを導く過程も書くこと．