2020　学習院大学　数学科特別入試MathJax

【１】　$x$軸上を動く点$\mathrm{A}$があり，最初は原点にあるとする．さいころを$1$回投げるごとに，偶数の目が出たらその目の数だけ$x$軸正の向きに進み，奇数の目が出たらその目の数だけ$x$軸負の向きに進むとする．

1.　さいころを$2$回投げたとき，点$\mathrm{A}$が$x>0$の範囲にある確率を求めよ．

2.　さいころを$3$回投げたとき，点$\mathrm{A}$が原点にある確率を求めよ．

【２】　$4$辺の長さの和が$14$に等しい$4$角形$\mathrm{ABCD}$が，半径${\displaystyle \frac{5}{2}}$の円に内接している．辺$\mathrm{CD}\text{，}$辺$\mathrm{DA}$の長さは共に$3$に等しいとする．

1.　対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．

2.　辺$\mathrm{AB}$および辺$\mathrm{BC}$の長さをそれぞれ$x\text{，}$$y$とおく，このとき積$xy$の値を求めさらに$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

【３】　放物線$C_1\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$と円$C_2\text{：}{x}^2+{(y+1)}^2=1$を考える．$C_1$の接線で$C_2$と第$4$象限の点で接するものを$L$とする．

1.　$L$の方程式を求めよ．

2.　$L\text{，}$$C_1\text{，}$$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　次の各問に答えよ．

1.　$x>0$のとき，不等式

$x>\log (x+\sqrt{x^2+1})$

が成り立つことを示せ．

2.　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}(x-\log (x+\sqrt{x^2+1})\}\mathit{dx}$を求めよ．