2020　学習院大学　理（プラス）学部MathJax

【１】　次の極限をそれぞれ求めよ．

(1)　$\underset{n\to \infty }{\lim }(\sqrt{n+\sqrt{3n}}-\sqrt{n})$

　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

【１】　次の極限をそれぞれ求めよ．

(2)　$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{1-\cos 3x}{{\tan }^{2}x}}$

　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

【２】　平面内のベクトル$\overrightarrow{v_n}=(x_{\mathrm{n}},y_n)$は

$\overrightarrow{v_1}=(1,0)\text{，}$$\overrightarrow{v_2}=(1,1)\text{，}$$\overrightarrow{v_{n+2}}=\overrightarrow{v_{n+1}}+\overrightarrow{v_n}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしているとする．

(1)　$n=1\text{，}$$2$に対して関係式

$\{\begin{array}{l}{x}_{n+1}=a{x}_n+b{y}_n\\ y_{n+1}=c{x}_n+d{y}_n\end{array}\cdots \text{(＊)}$

が成り立つような実数$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$を求めよ．

(2)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$を(1)で求めたものとする．関係式$\text{(＊)}$がすべての自然数$n$に対して成り立つことを証明せよ．

　この問題については，答えだけでなく，答えを導く過程も書くこと．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　$2$次式$P(x)=a{x}^2+bx+c$は

$P(3x+2)=x^2+x+1$

を満たすとする．実数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を求めよ．

この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

【３】　以下の問いに答えよ．

(2)　次の式により定められる数列の一般項$a_n$を求めよ．

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=2a_n+3^n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

【４】　実数$x$の関数

$f(x)=x-{\displaystyle \frac{8x}{x^2+3}}$

を考える．

(1)　$f(x)$の極大値，極小値およびそれらを与える$x$の値を求めよ．

(2)　$y=f(x)$のグラフ上の点$(3,1)$における接線の方程式を求めよ．

(3)　$y=f(x)$の接線で，$y$軸上の点$(0,a)$を通るものが存在するような$a$の範囲を求めよ．

　この問題については，答えだけでなく，答えを導く過程も書くこと．