2020　慶応義塾大学　薬学部MathJax

【１】　以下の問の$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{サ}}$にあてはまる適切な数または式を，解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(1)　$x$の関数$f(x)$が等式

$f(x)=2x^2-4x-{\displaystyle {\int }_0^1}f(t)\mathit{dt}$

を満たすとき$f(x)$を求めると，${\displaystyle {\int }_0^1}f(t)\mathit{dt}=\boxed{\text{ア}}$である．

【１】　以下の問の$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{サ}}$にあてはまる適切な数または式を，解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(2)　不等式$x^2-5x+3-2{\log }_{3}x<0$を満たす自然数$x$は$\boxed{\text{イ}}$個ある．

【１】　以下の問の$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{サ}}$にあてはまる適切な数または式を，解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(3)　$5$人が着席できる円形のテーブル$\text{①}\text{，}$$\text{②}\text{，}$$\text{③}$がある．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$を含む$15$人全員が無作為にテーブルに着席する．

(ⅰ)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，ともに$\text{①}$のテーブルに着席する確率は$\boxed{\text{ウ}}$である．

(ⅱ)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，隣り合って着席する確率は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　以下の問の$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{サ}}$にあてはまる適切な数または式を，解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(4)　$\mathrm{\angle ABC}$と$\mathrm{\angle ACB}$が鋭角である三角形$\mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$におろした垂線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{Q}$とおくと，$\mathrm{BQ}=10\text{，}$$\mathrm{QC}=8$である．また，辺$\mathrm{AB}$上に動点$\mathrm{P}$をおき，$2$つの線分$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{PC}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{PR}=7$となる位置に点$\mathrm{P}$を動かすと，$\mathrm{RC}=9$である．

(ⅰ)　$\mathrm{PR}=7$のとき，$\mathrm{PB}=\boxed{\text{オ}}$である．

(ⅱ)　辺$\mathrm{AB}$を$4:1$に内分する位置に点$\mathrm{P}$を動かすと，$\mathrm{AR}=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　以下の問の$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{サ}}$にあてはまる適切な数または式を，解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(5)　$xy$平面上の放物線$y=x^2$上を動く$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$と原点$\mathrm{O}$を線分で結んだ三角形$\mathrm{AOB}$において，$\mathrm{AOB}=90\mathrm{°}$である．このとき，三角形$\mathrm{AOB}$の重心$\mathrm{G}$の軌跡の方程式は$y=\boxed{\text{キ}}$である．

【１】　以下の問の$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{サ}}$にあてはまる適切な数または式を，解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(6)　正の整数の列$\{a_n\}\text{：}$

$1,2,8,$$3,12,27,$$4,16,36,64,$$5,$$20.$$45,$$80,$$125,$$6,$$\cdots$

がある．この数列$\{a_n\}$を次のように群に分け，第$s$群には$s$個の整数が入るようにする．

$\underset{\text{第}1\text{群}}{1}|$$\underset{\text{第}2\text{群}}{2,8}|$$\underset{\text{第}3\text{群}}{3,12,27}|$$\underset{\text{第}4\text{群}}{4,16,36,64}|$$\underset{\text{第}5\text{群}}{5,20,45,80,125}|$$6,\cdots$

(ⅰ)　第$s$群の$t$番目の項を$s$と$t$の式で表すと$\boxed{\text{ク}}$である．ただし，$t$は$t\leqq s$を満たす．

(ⅱ)　$\{a_n\}$の$77$番目の項は$a_{77}=\boxed{\text{ケ}}$である．

(ⅲ)　群内の項の総和が，初めて群内の最後の項の$5$倍以上になるのは，第$\boxed{\text{コ}}$群である．

【１】　以下の問の$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{サ}}$にあてはまる適切な数または式を，解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(7)　$xy$平面上に点$\mathrm{P}$$(9,3)$と点$\mathrm{Q}$$(3,1)$がある．点$\mathrm{Q}$を中心に，点$\mathrm{P}$を反時計回りに$15\mathrm{°}$回転させた点を${\mathrm{P}}^{\prime }$とする．ただし，$\mathrm{PQ}={\mathrm{P}}^{\prime }\mathrm{Q}$である．このとき，点${\mathrm{P}}^{\prime }$の座標を求めると，$x$座標は$\boxed{\text{サ}}$である．

【２】　以下の問の$\boxed{\text{シ}}\text{〜}$$\boxed{\text{ッ}}$にあてはまる適切な数または式を，解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

　$xy$平面上に不等式$(k^2-2k)x^2+(2k-2)xy-10(k-2)x-10y+y^2\leqq 0$で表される領域$D$がある．$D$の境界線である$2$直線のうち，傾きが正であるものを$l_1\text{，}$もう一方を$l_2$とおく．$l_1$と$x$軸の正の向きとの成す角を$\theta$とおく．

　また，放物線$C\text{：}y=\alpha {(z-5)}^2+\beta$の$x=k+5$における接線は$l_2$に一致する．

　ただし，$\alpha \text{，}$$\beta$は実数であり，$k$は$0<k<2$を満たす実数とする．

(1)　$l_1$の方程式は$y=\boxed{\text{シ}}$であり，$l_2$の方程式は$y=\boxed{\text{ス}}$である．

(2)　$\alpha$の値は$\boxed{\text{セ}}$であり，$\beta$を$k$の式で表すと$\boxed{\text{ソ}}$である．

(3)　$C$が$l_1$と異なる$2$点で交わる$k$の値の範囲は$\boxed{\text{タ}}$である．

(4)　$\tan \theta ={\displaystyle \frac{5}{4}}$のとき，$k$の値は$\boxed{\text{チ}}$であり，このとき$y\leqq \alpha {(x-5)}^2+\beta$の表す領域と$D$の共通部分の面積は$\boxed{\text{ツ}}$である．

【３】　以下の問(1)，(3)の$\boxed{\text{テ}}\text{，}$$\boxed{\text{ナ}}$にあてはまる適切な数を，解答用紙の所定の欄に記入し，$\boxed{\text{ト}}$にあてはまる適切な文字を，解答用紙の所定の欄にあるアルファベットから選び，丸で囲みなさい．

　問(2)の箱ひげ図は，解答用紙の所定の欄に作図しなさい．ただし，平均値は記入しなくてもよい．

　ある大学で，複数の科目を受験科目とする入学試験を実施した．右の表は，すべての科目の合計点が上位$10$名に入る受験者について，数学の点数のみを抜き出したものである．この$10$名の数学の点数の平均値は$84.0$点，分散は$53.0$である．ただし，試験の点数はすべて整数値であり，平均値と分散は四捨五入されていないものとする．また，$x\text{，}$$y$は$x>y$を満たす．

(1)　受験者$\mathrm{I}$の数学の点数は$\boxed{\text{テ}}$点である．

(2)　この$10$名の数学の点数の箱ひげ図を作図しなさい．

(3)　入学試験に合格した受験者のうち，一部はこの大学に入学しなかった．入学した受験者のすべての科目の合計点上位$10$名を調べたところ，受験者$\mathrm{A}$から$\mathrm{J}$の$10$名のうち$9$名と受験者$\mathrm{K}$であった．この受験者$\mathrm{K}$を含む$10$名の数学の点数の平均値は$83.0$点，分散は$62.0$である．ただし，平均値と分散は四捨五入されていないものとする．このとき，受験者$\mathrm{A}$から$\mathrm{J}$の中で入学しなかった受験者は$\boxed{\text{ト}}$であり，受験者$\mathrm{K}$の数学の点数は$\boxed{\text{ナ}}$点である．