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2020-13338-0201
2020 慶応義塾大学 看護医療学部
2月11日実施
易□ 並□ 難□
【1】 以下の に最もふさわしい数,式または命題などを求め,所定の解答欄に記入しなさい.分数は分母を有理化して答えなさい.
(1) log3⁡ 27= (ア) , log5 ⁡ 125= (イ) , log9⁡ 3= (ウ) である.実数 x が log 3⁡27+ log5⁡ 25-2⁢ log9⁡ 13 =log2 ⁡x を満たすならば x = (エ) である.
2020-13338-0202
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(2) 実数 x に関する命題「 x が整数ならば, x2 は整数である」の逆を (オ) に記し,その真・偽を (カ) に記しなさい.
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(3) 数列 a 1,a2 ,a3 ,⋯,a n,⋯ の初項から第 n 項までの和 S n が Sn= n3 であるとき, a2= (キ) , a100= (ク) である.
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(4) 実数 a , b , 虚数単位 i に対し, ( a+b⁢ i)2 =1+ 3⁢i が成り立っているとする.このとき, (a -b⁢i )2 = (ケ) となる.また, a>0 ならば, a= (コ) , b= (サ) である.
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(5) 不定方程式 2 ⁢x-3 ⁢y=1 のすべての整数解は, k を整数とすると,
x= (シ) ⁢k+ (ス) , y= (セ) ⁢k+ (ソ)
と表される.同様にして,不定方程式 2 ⁢x-3⁢ y=2020 のすべての整数解は, k を整数とすると,
x= (タ) ⁢ k+ (チ) , y= (ツ) ⁢ k+ (テ)
と表される.
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【2】 以下の に最もふさわしい数または式を求め,所定の解答欄に記入しなさい.分数は分母を有理化して答えなさい.
(1) AB=2 , AC=5⁢ 2 , ∠BAC=60⁢ ° となる三角形 ABC を考える. BC= (ト) であり,三角形 ABC の面積は (ナ) である.また,三角形 ABC の内接円の半径は (ニ) である.
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(2) 0≦θ ≦π を満たす定数 θ に対して, 2 次関数
f⁡( x)= x2- 2⁢( sin⁡θ+ cos⁡θ )⁢x + 32
を考える.放物線 y =f⁡( x) の頂点 P の座標を ( p,q ) とすると, p= (ヌ) である.放物線 y =f⁡( x) と x 軸の交点が 1 つ以上存在するような θ の範囲は (ネ) である. θ が 0 ≦θ≦π を動くとき, p が取り得る値の範囲は (ノ) であり,点 P (p, q) の軌跡は曲線 q = (ハ) (ただし, p は (ノ) の範囲を動く)である.
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(3) 5 つの点 A1 , A 2 , A3 , A4 , A5 がある. A1 から出発し,現在いる点以外の 4 つの点のいずれかに移動することを繰り返す.それぞれの点に移動する確率は等しいものとする.
3 回の移動の間に少なくとも 1 度は A 1 に戻る確率は (ヒ) である. n 回の移動の間に少なくとも 1 度は A 1 に戻る確率は (フ) であり, (フ) がはじめて 99100 より大きくなるのは n = (ヘ) のときである.必要ならば, log10⁡ 2≒0.3010 , log10⁡ 3≒0.4771 を用いてもよい.
2020-13338-0209
【3】 以下の に最もふさわしい数または式を求め,所定の解答欄に記入しなさい.
AB=AC= AD=1 , BC=CD= DB=a を満たす四面体 ABCD を考える.ただし, a>0 とする.
(1) 点 O が OA →+ OB→+ OC→ +OD→ =0→ を満たすならば,
AO→ = (ホ) ⁢AB→ + (マ) ⁢AC → + (ミ) ⁢AD→
と表せる.
(2) AB→ ⋅AC→ = (ム) である.
(3) | AO→ |2 = (メ) , | BO→ |2 = (モ) である.
(4) a=1 のとき, cos⁡∠AOB = (ヤ) である.
2020-13338-0210
【4】 以下の に最もふさわしい数または式などを求め,所定の解答欄に記入しなさい.分数は分母を有理化して答えなさい.
次の表は,あるクラスの生徒 10 人に対して行われた,理科と社会のテスト(各 100 点満点)の得点をまとめたものである.
(1) 次の図(A)から(E)のうち,このデータの散布図として適切なものは (ユ) である.
(2) 生徒⑧の理科の得点は (ヨ) であり,理科の得点の分散は (ラ) である.
(3) 生徒 ④ の社会の得点は (リ) であり,生徒 ⑨ の社会の得点は (ル) である.
(4) 理科と社会の得点の相関係数は (レ) である.
2020-13338-0211
【5】 以下の に最もふさわしい数または式を求め,所定の解答欄に記入しなさい.また,(2)と(3)は指示に従って解答しなさい.
関数 f ⁡(x )=x 3-6⁢ x2+ 9⁢x を考える.
(1) f⁡( x) の極大値は (ロ) であり,極小値は (ワ) である.
(2) f⁡( x) の極小値を与える x の値を a と表す. 0<t< a として, x⁣y 平面上の 3 点 (0, 0) , (t, 0) , (t, f⁡( t) ) を頂点とする三角形の面積を S ⁡(t ) とする. S⁡( t) の最大値 S * と S ⁡(t )=S * となる t の値を求めなさい.ただし,求める過程も書きなさい.
(3) (2)で求めた t の値を t * と表す. x⁣y 平面上の 2 点 (0, 0) , ( t*, f⁡( t* ) ) を通る直線 l と曲線 y =f⁡ (x ) を図示しなさい.
(4) 直線 l と曲線 y =f⁡( x) に囲まれた部分の面積は (ヲ) である.