2020　慶応義塾大学　経済学部MathJax

【１】　$a\text{．}$$b\text{．}$$c$は条件$a^2+b^2+ab=c^2\text{，}$$a<b$を満たす自然数とする．

(1)　$a=3$であるとき，$c=\boxed{\text{(1)}}$である．

(2)　和が$21$になる$2$つの自然数の積の最大値は$\boxed{\text{(2)}\text{(3)}\text{(4)}}$であることから，$a+b=2$であるとき，$c=\boxed{\text{(5)}\text{(6)}}$である．

(3)　$a+b-c=p$とおくと，$a\text{，}$$b\text{，}$$p$は

$(a-\boxed{\text{(7)}}p)(b-\boxed{\text{(8)}}p)=\boxed{\text{(9)}}{p}^2$

を満たす．よって，$p$が$5$以上の素数であるとき，条件を満たす$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の組は全部で$\boxed{\text{(10)}}$個ある．また，$p=7$であるとき，$c$の値が最小となるのは，$a=\boxed{\text{(11)}\text{(12)}}\text{，}$$b=\boxed{\text{(13)}\text{(14)}}$のときである．

【２】　$1$個のさいころを$8$回続けて投げる．ただし，さいころを$1$回投げ終えるごとに，それまでに出た目の合計を記録しておく．

(1)　さいころを$3$回投げ終えた時点で，それまでに出た目の合計がちょうど$9$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(15)}\text{(16)}}}{\boxed{\text{(17)}\text{(18)}\text{(19)}}}}$であり，合計が$12$以上である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(20)}}}{\boxed{\text{(21)}}}}$である．

(2)　さいころを$8$回投げ終えるまでの間に，出た目の合計がちょうど$6$になることが起きる確率は，$a=\boxed{\text{(22)}}\text{，}$$b=\boxed{\text{(23)}}\text{，}$$c=\boxed{\text{(24)}}\text{，}$$d=\boxed{\text{(25)}}$とおくと${\displaystyle \frac{a^b}{c^d}}$と書ける．

(3)　出た目の合計が初めて$7$以上になった時点で，その値が$12$以上である確率は，$e=\boxed{\text{(26)}}\text{，}$$f=\boxed{\text{(27)}}$とおくと${\displaystyle \frac{a^e}{c^f}}$と書け，その値がちょうど$9$である確率は，$g=\boxed{\text{(28)}}\text{，}$$h=\boxed{\text{(29)}}\text{，}$$i=\boxed{\text{(30)}}\text{，}$$j=\boxed{\text{(31)}}$とおくと${\displaystyle \frac{a^g}{c^h}}-{\displaystyle \frac{a^i}{c^j}}$と書ける．ただし，$a\text{，}$$c$は(2)で求めた値とする．

【３】　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$を，$a_1=1\text{，}$$b_1=1$かつ$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対して

${\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}<2$ならば$\{\begin{array}{l}{a}_{n+1}=a_n+1\\ b_{n+1}=b_n\end{array}\text{，}$${\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}\geqq 2$ならば$\{\begin{array}{l}{a}_{n+1}=a_n\\ b_{n+1}=b_n+1\end{array}$$\cdots \text{①}$

で定める．

(1)　$a_3=\boxed{\text{(32)}}\text{，}$$b_3=\boxed{\text{(33)}}\text{，}$$a_6=\boxed{\text{(34)}}\text{，}$$b_6=\boxed{\text{(35)}}$である．

(2)　一般に，自然数$m$に対して

$a_{3m}=\boxed{\text{(36)}}m+\boxed{\text{(37)}}\text{，}$$b_{3m}=\boxed{\text{(38)}}m+\boxed{\text{(39)}}$$\cdots \text{②}$

が成り立つと推測される．この推測が正しいことを次のように確かめる．$m=1$のとき$\text{②}$は成り立つ．$m=k$のとき$\text{②}$を仮定すると，$\text{①}$から

$a_{3k+1}=\boxed{\text{(40)}}k+\boxed{\text{(41)}}\text{，}$$b_{3k+1}=\boxed{\text{(42)}}k+\boxed{\text{(43)}}$

となる．再び$\text{①}$から

$a_{3k+2}=\boxed{\text{(44)}}k+\boxed{\text{(45)}}\text{，}$$b_{3k+2}=\boxed{\text{(46)}}k+\boxed{\text{(47)}}$

が成り立つ．さらに$\text{①}$から

$a_{3k+3}=\boxed{\text{(48)}}k+\boxed{\text{(49)}}\text{，}$$b_{3k+3}=\boxed{\text{(50)}}k+\boxed{\text{(51)}}$

となるので，$m=k+1$のときにも$\text{②}$は成り立つ．

(3)　$n\geqq 1$に対して$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{10}^{a_k}$とする．自然数$m$に対して，$s=\boxed{\text{(52)}}$とおくと$S_{3m}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(53)}\text{(54)}}}{\boxed{\text{(55)}\text{(56)}}}}({10}^{sm}-1)$となる．よって，$S_{3m}$は$\boxed{\text{(57)}}m+\boxed{\text{(58)}}$桁の整数になる．

【４】　座標空間の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面上に$\mathrm{A}$$(0,0,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,0,-1)$と異なる点$\mathrm{C}$$(p,q,r)$をとり，$\mathrm{A}$と$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$を通る直線と$xy$平面の交点を，それぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．また，座標軸上に$2$点$\mathrm{R}$$({\displaystyle \frac{1}{2}},0,0)\text{，}$$\mathrm{S}$$(0,{\displaystyle \frac{1}{4}},0)$をとる．

(1)　$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{RS}$上を動くとき，$\mathrm{Q}$の軌跡を$xy$平面上に図示せよ．

(3)　$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{RS}$上を動くとき，$\mathrm{▵ABC}$の面積の最小値を求めよ．

【５】　実数$\alpha$は${\log }_8(2-\alpha )+{\log }_{64}(\alpha +1)={\log }_4\alpha$を満たすとする．また，点$(\sqrt{3}\alpha ,{\alpha }^2)$に関して，曲線$y={\log }_{2}x$上の点$(x,y)$と対称な点を$(s,t)$とする．

(1)　$\alpha$の値を求めよ

(2)　$t$を$s$を用いて表せ．

(3)　実数$s\text{，}$$t$が$s\leqq 0\text{，}$$t\geqq 0$および(2)の関係式を満たすとき，

$3\sin ({\displaystyle \frac{s+t}{2}}\pi )+\cos ({\displaystyle \frac{s+t}{2}}\pi )$

の最大値と最小値を求めよ．必要ならば$1.5<\sqrt[3]{4}<1.6$を用いてもよい．

【６】　$a$を正の定数とする．また，$x$の$3$次式$f(x)$は次の条件を満たすとする．

$f(0)=-a^2\text{，}$$f(a)=0\text{，}$$f^{\prime }(a)=0\text{，}$${\displaystyle {\int }_0^a}f(x)\mathit{dx}=0$

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　区間$0\leqq x\leqq 1$における$f(x)$の最大値を求めよ．

(3)　$a=4$のとき，$x$軸，$y$軸および曲線$y=f(x)$で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．