2020　慶応義塾大学　商学部MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$z$を複素数とし，数列$\{a_n\}$が漸化式$a_{n+1}=z{a}_n-z^2$を満たすとする．$z={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(1)}}}{\boxed{\text{(2)}}}}\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{(3)}}}}{\boxed{\text{(4)}}}}i$のとき，一般項が$a_n=1$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$となる．

【１】　以下の問いに答えよ．

(ⅱ)　実数$a$に対し，$f(x)=\left|x\right|+a$とおく．${\displaystyle {\int }_{-5}^5}|f(x)|\mathit{dx}$が最小となるのは$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(5)}\text{(6)}}}{\boxed{\text{(7)}}}}$のときである．

【１】　以下の問いに答えよ．

(ⅲ)　$f(x)=4x^3-3x$とし，その導関数を$f^{\prime }(x)$とする．$f^{\prime }(\sin \theta )=3-3\sqrt{2}$を満たす$\theta$$\text{（}0<\theta <\pi \text{）}$は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(8)}}}{\boxed{\text{(9)}}}}\pi \text{，}$${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(10)}}}{\boxed{\text{(11)}}}}\pi$

である．また，$f(\cos \theta )={\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たす$\theta$$\text{（}0<\theta <\pi \text{）}$は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(12)}}}{\boxed{\text{(13)}}}}\pi \text{，}$${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(14)}}}{\boxed{\text{(15)}}}}\pi \text{，}$${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(16)}}}{\boxed{\text{(17)}}}}\pi$

である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(ⅳ)　${\displaystyle \sum _{r=0}^5}{}_{5}C_r{\tan }^{2r}{\displaystyle \frac{\pi }{3}}=\boxed{\text{(18)}\text{(19)}\text{(20)}\text{(21)}}$である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(ⅴ)　数列$\{a_n\}$が漸化式$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{4}}{a_n}^3$を満たし，$a_1=4$とする．このとき，

${\log }_2{a}_{n+1}=\boxed{\text{(22)}}{\log }_2{a}_n-\boxed{\text{(23)}}$

であり，$a_n>2\cdot {10}^{30100}$を満たす最小の自然数$n$は$\boxed{\text{(24)}\text{(25)}}$である．ただし，必要であれば${\log }_{10}2=0.301\text{，}$${\log }_{10}3=0.477$を近似として用いてもよい．

【２】　座標平面上の原点を中心とする半径$1$の円上の動点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を考える．以下，$\mathrm{A}$が$(1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$が$(0,1)\text{，}$$\mathrm{C}$が$(-1,0)$にいる状態を初期状態と呼ぶ．

　$8$枚の硬貨$Q_1\text{，}$$Q_2\text{，}$$Q_3\text{，}$$\cdots \text{，}$$Q_8$を同時に投げる試行を$\mathrm{T}$とする．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$はいずれも，試行$\mathrm{T}$を行うたびに次の規則に従って動く．

$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{，}$$8$に対して，$(\cos {\displaystyle \frac{n}{4}}\pi ,\sin {\displaystyle \frac{n}{4}}\pi )$にいる動点は，

硬貨$Q_n$が表となったとき$(\cos {\displaystyle \frac{n+1}{4}}\pi ,\sin {\displaystyle \frac{n+1}{4}}\pi )$に動き，

硬貨$Q_n$が裏となったとき$(\cos {\displaystyle \frac{n-1}{4}}\pi ,\sin {\displaystyle \frac{n-1}{4}}\pi )$に動く．

　この規則により，ある時点で座標が一致している複数の動点は，試行$\mathrm{T}$の後も座標が一致する．

(ⅰ)　初期状態から試行$\mathrm{T}$を$2$回行ったとき，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の座標が一致している確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(26)}}}{\boxed{\text{(27)}}}}$であり，$\mathrm{A}$と$\mathrm{C}$の座標が一致している確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(28)}}}{\boxed{\text{(29)}}}}$である．また，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の座標が全て一致している確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(30)}}}{\boxed{\text{(31)}\text{(32)}}}}$である．

(ⅱ)　初期状態から試行$\mathrm{T}$を$2$回行ったとき，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の座標が一致しているとする．このとき，$\mathrm{C}$の座標が$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の座標と一致している確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(33)}}}{\boxed{\text{(34)}}}}$である．

(ⅲ)　初期状態から試行$\mathrm{T}$を$4$回行ったとき，$\mathrm{A}$と$\mathrm{C}$の座標が一致している確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(35)}\text{(36)}}}{\boxed{\text{(37)}\text{(38)}}}}$である．

(ⅳ)　初期状態から試行$\mathrm{T}$を$5$回行ったとき，$\mathrm{A}$と$\mathrm{C}$の座標が一致している確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(39)}\text{(40)}}}{\boxed{\text{(41)}\text{(42)}}}}$である．

【３】　座標平面の原点を$\mathrm{O}$とする．関数$f(x)$とその導関数$f^{\prime }(x)$に対して$2$点$\mathrm{A}$$(x,f(x))\text{，}$$\mathrm{B}$$(2x,f(x)+x{f}^{\prime }(x))$を考える．ただし，$x\ne 0$とする．

(ⅰ)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る直線上の点を$\mathrm{P}$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は実数$t$を用いて

$\stackrel{\text{'}\to }{\mathrm{OP}}=(x(t+\boxed{\text{(43)}}),f(x)+tx{f}^{\prime }(x))$

と表せる．

　以下，$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+2$とする．

(ⅰ)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の大きさ$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$が最小となるのは

$t=-{\displaystyle \frac{x^2+\boxed{\text{(44)}}}{\boxed{\text{(45)}}(x^2+\boxed{\text{(46)}})}}$

のときで，そのとき

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|={\displaystyle \frac{|x^2-\boxed{\text{(47)}}|}{\boxed{\text{(48)}}\sqrt{x^2+\boxed{\text{(49)}}}}}$

である．

(ⅲ)　$0<x<2$の範囲で$\mathrm{▵OAB}$の面積$S$が最大となるのは

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(50)}}\sqrt{\boxed{\text{(51)}}}}{\boxed{\text{(52)}}}}$

のときで，そのとき

$S={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(53)}}\sqrt{\boxed{\text{(54)}}}}{\boxed{\text{(55)}}}}$

である．

【４】　座標空間内で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の球面$S$を考える．$h$を正の実数として，$z$軸上の点$\mathrm{H}$$(0,0,r+h)$を通る平面のうち，$zx$平面上の点$\mathrm{A}$で球面$S$と接するものを$\alpha \text{，}$$yz$平面上の点$\mathrm{B}$で球面$S$と接するものを$\beta$とする（ただし，点$\mathrm{A}$の$x$座標と点$\mathrm{B}$の$y$座標は正とする)．

　$t={\displaystyle \frac{h}{r}}$として，空欄$\boxed{\text{(ア)}}\text{〜}$$\boxed{\text{(オ)}}$に入る$t$を用いた適切な式を，また，空欄$\boxed{\text{(カ)}}$に入る適切な整数を，それぞれ解答用紙$\mathrm{B}$の所定の欄に記述しなさい．ただし，解答には$r$と$h$を用いてはならない．

(ⅰ)　点$\mathrm{A}$の座標は

$(\boxed{\text{(ア)}}r,0,\boxed{\text{(イ)}}r)$

である．

(ⅱ)　平面$\alpha$の方程式は

$\boxed{\text{(ウ)}}x+z=\boxed{\text{(エ)}}r$

である．

(ⅲ)　平面$\alpha$の法線ベクトルと平面$\beta$の法線ベクトルのなす角が$\theta$$\text{（}0\mathrm{°}<\theta <90\mathrm{°}\text{）}$であったとする．このとき，

$\cos \theta =\boxed{\text{(オ)}}$

である．

(ⅳ)　$r=6400\text{，}$$h=400$のとき，鋭角$\theta$の大きさを度数法を用いて最も近い整数で表すと

$\theta \fallingdotseq \boxed{\text{(カ)}}\mathrm{°}$

となる．ただし，必要であれば三角比の表を用いてよい．