2020　上智大学　TEAP文系2月2日実施MathJax

【１】

(1)　$n$を自然数として，$x$の式$A(x)$に関する条件$\text{(}{p}_n)$を考える．

$\text{(}{p}_n\text{)}$　すべての$x\geqq 1$に対して$A(x)\leqq n$が成り立つ

(ⅰ)　条件$\text{(}{p}_3\text{)}$が成り立つものを，選択肢(a)〜(e)の中からすべて選んで$\text{あ}$にマークせよ．もし一つもなければ$\mathrm{z}$をマークせよ．

(ⅱ)　すべての$n$に対して条件$\text{(}{p}_n\text{)}$が成り立つものを，選択肢(a)〜(e)の中からすべて選んで$\text{い}$にマークせよ．もし一つもなければ$\mathrm{z}$をマークせよ．

(ⅲ)　ある$n$に対して条件$\text{(}{p}_n\text{)}$が成り立つものを，選択肢(a)〜(e)の中からすべて選んで$\text{う}$にマークせよ．もし一つもなければ$\mathrm{z}$をマークせよ．

(ⅳ)　条件$\text{(}{p}_a\text{)}$の否定を，選択肢(a)〜(f)の中からすべて選んで$\text{え}$にマークせよ．もし一つもなければ$\mathrm{z}$をマークせよ．

【１】

(2)　$11$個の自然数$x_1\text{，}$$\cdots \text{，}$ $x_{11}$からなるデータに関する次の命題について，正しいものを選択肢(a)〜(c)の中から選んでマークせよ．

(ⅰ)　$x_1\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_{11}$の平均値は自然数である．

(ⅱ)　$x_1\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_{11}$の中央値は自然数である．

(ⅲ)　$x_1\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_{10}$の分散より$x_1\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_{11}$の分散の方が大きい．

(ⅳ)　$x_1\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_{11}$の標準偏差を$s_1$とし，$2x_1+1\text{，}$$\cdots \text{，}$$2x_{11}+1$の標準偏差を$s_2$とすると，$s_2=2s_1+1$を満たす．

(ⅴ)　$x_1\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_{11}$の分散を$v_1$とし，$2x_1+1\text{，}$$\cdots \text{，}$$2x_{11}+1$の分散を$v_2$とすると，$v_2=4v_1$を満たす．

【１】

(3)　$2$種のデータ$X\text{，}$$Y$の散布図$\mathrm{A}\text{，}$$\cdots \text{，}$$\mathrm{D}$が次ページのように与えられているとき，それぞれの相関係数として最も適切な値を選択肢(a)〜(j)の中から選んでマークせよ．

【２】　右の図のように，円周上に等間隔に並んだ$5$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$がある．

　各点に対し，さいころをそれぞれ$1$回投げて出た目の値を割り当て，同じ値が割り当てられた$2$点をすべて線分で結ぶ．このようにして作られる図形について考える．ただし，他の点と線分で結ばれなかった点も図形に含め，どの$2$点も線分で結ばれない場合も，点のみからなる図形として$1$通りに数える．また，回転や裏返しで重なり合う図形は異なるものとして数える．

(1)　このような図形のうち，出た目の値が$3$つである場合から作られるものは$\text{ア}$通りある．

(2)　このような図形は全部で，$\text{イ}$通りある．

　以下では，点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$以外で線分同士が交わった交点について考える．

(3)　このような図形のうち，交点をただ$1$つもつものは$\text{ウ}$通りある．

(4)　このような図形のうち，交点をちょうど$2$つもつものは$\text{エ}$通りある．

(5)　このような図形のうち，交点をもたないものは$\text{オ}$通りある．

【３】　一辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$とし，線分$\mathrm{MN}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$0<t<1$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\text{カ}$である．

(2)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|}^2=\text{キ}{t}^2+\text{ク}t+\text{ケ}\text{，}$${\left|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\right|}^2=\text{コ}{t}^2+\text{サ}t+\text{シ}$である．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\text{ス}{t}^2+\text{セ}t+\text{ソ}$である．

(4)　$\mathrm{▵APQ}$の面積を$S$とすると，

$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{\text{タ}{t}^4+\text{チ}{t}^3+\text{ツ}{t}^2+\text{テ}t+\text{ト}}$

である．

(5)　$f(t)=4S^2$とおくと，

$f^{\prime }\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)={\displaystyle \frac{\text{ナ}}{\text{ニ}}}\text{，}$$f^{\prime }\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=\text{ヌ}\text{，}$$f^{\prime }\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)={\displaystyle \frac{\text{ネ}}{\text{ノ}}}$

である．このことから，$S$は，$\text{お}$の範囲内で極値をとることがわかる．