2020　上智大学　TEAP理系月2日実施MathJax

2020-13363-0201

2020　上智大学　TEAP理系

2月2日実施

易□　並□　難□

【１】　 $e$ を自然対数の底とする． $n$ を自然数とし， $x$ の関数 $f (x) = e^{- x^{n}}$ を考える．

(1)

$\int_{1}^{0} f (x) dx < 1$

を示せ．

(2)　実数 $r > 1$ に対して，

$\int_{1}^{r} x^{n - 1} f (x) dx < \frac{1}{e n}$

が成り立つことを示せ．

(3)　実数 $r > 1$ に対して

$\int_{0}^{r} f (x) dx < 1 + \frac{1}{e n}$

が成り立つことを示せ．

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2月2日実施

易□　並□　難□

【２】　 $n$ を自然数とする．座標平面上で， $x ，$ $y$ についての連立不等式

${\begin{cases} 0 ≦ x \\ 0 ≦ y \\ 2 x + 3 y ≦ n \end{cases}$

の表す領域を $D$ とし， $D$ に属する格子点の個数を $a_{n}$ とする．ただし，格子点とは， $x$ 座標および $y$ 座標がともに整数である点のことである．

(1)　 $D$ に属する格子点のうち， $y$ 座標が $0$ または $1$ である点は全部で $n$ 個あることを示せ．

(2)　 $7$ 以上の自然数 $n$ に対して

$a_{n} = a_{n - 6} + n$

が成り立つことを示せ．

(3)　すべての自然数 $n$ に対して

$| a_{n} - \frac{{(n + 3)}^{2}}{12} | < \frac{1}{2}$

が成り立つことを示せ．

(4)　 $a_{n} ≧ 100$ を満たす最小の自然数 $n$ を求めよ．

2020-13363-0203

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【３】　座標平面上を運動する点 $P$ の座標 $(x, y)$ が時刻 $t$ $（ 0 ≦ t ≦ 2 π ）$ の関数として

${\begin{cases} x = 2 \cos t + \cos 2 t \\ y = 2 \sin t + \sin 2 t \end{cases}$

で与えられているとする． $P$ の軌跡を $C$ とする．

(1)　 $P$ の $y$ 座標の最大値は $\frac{ア}{イ} \sqrt{ウ}$ であり， $x$ 座標の最小値は $\frac{エ}{オ}$ である．

(2)　 $0 ≦ t ≦ π$ を満たすある時刻 $t$ において， $P$ は $y$ 軸上の点

$(0, \frac{\sqrt[4]{3} (\sqrt{カ} + \sqrt{キ})}{ク})$

を通る．ただし， $カ < キ$ とする．

(3)　時刻 $t$ における $P$ の速さは $ケ | \cos \frac{t}{2} |$ である．

(4)　 $C$ の長さは $コ$ である．

(5)　 $C$ によって囲まれた図形の面積は $サ π$ である．

2020-13363-0204

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【４】　 $O$ を原点とする座標空間において， $z$ 軸を中心軸とする半径 $1$ の円柱を考える． $y, z$ 平面上の直線 $z = \sqrt{3} y$ と $x$ 軸を含む平面で，この円柱を切ったときにできる切り口の楕円を $C$ とする． $C$ 上の点で $z$ 座標が最小の点を $A$ とする．

(1)　 $A$ の座標は $(シ, ス, セ \sqrt{ソ})$ )である．

(2)　 $C$ 上の点 $B$ は $x$ 座標が正で $∠OAB = \frac{π}{6}$ を満たすとする．このとき，

$B$ $(\frac{タ}{チ} \sqrt{ツ}, \frac{テ}{ト}, \frac{ナ}{ニ} \sqrt{ヌ})$

であり， $▵OAB$ の面積は $\frac{ネ}{ノ} \sqrt{ハ}$ である．

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