2020　上智大学　法,外国語,総合人間科学部2月8日実施MathJax

【１】(1)　関数$f(x)=4{({\log }_{4}x)}^2({\log }_2{\displaystyle \frac{x^2}{8}})+3{\log }_8{\displaystyle \frac{1}{x^{12}}}$とする．

　$f(x)$は${\displaystyle \frac{1}{8}}\leqq x\leqq 8$において，$x={\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}$のとき最小値$\text{ウ}$をとり，$x={\displaystyle \frac{\text{エ}}{\text{オ}}}$のとき最大値$\text{カ}$をとる．

【 １】(2)　$2$つの関数$y=\left|\right|x|-1|$と$y={\displaystyle \frac{1}{2}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}}$のグラフは$3$点

$(\text{キ},\text{ク})\text{，}$$({\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コ}}},{\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}})\text{，}$$(\text{ス},\text{セ})$

を共有する．ただし，$\text{キ}<{\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コ}}}<\text{ス}$とする．また$2$つのグラフで囲まれた部分の面積は${\displaystyle \frac{\text{ソ}}{\text{タ}}}$である．

【２】　座標平面上の点$(x.y)$にある石に対して次の操作を行う．$1$個のサイコロを投げ$1$の目が出たら$(x+1,y)$へ，$2$の目が出たら$(x-1,y)$へ，$3$の目が出たら$(x,y+1)$へ，$4$の目が出たら$(x,y-1)$へ石を動かし，$5$または$6$の目が出たら石は動かさない．

　石は初めに原点$(0,0)$にあるものとし，$n$回目の操作を行ったとき，石が原点にある確率を$p_n$とする．また，$n\geqq 2$として，$1$回目の操作後から$n-1$回目の操作後まで石が原点になく，$n$回目の操作を行ったとき，石が原点にある確率を$q_n$とする．

(1)　$p_2={\displaystyle \frac{\text{チ}}{\text{ツ}}}\text{，}$$p_3={\displaystyle \frac{\text{テ}}{\text{ト}}}\text{．}$$p_4={\displaystyle \frac{\text{ナ}}{\text{ニ}}}$である．

(2)　$q_2={\displaystyle \frac{\text{ヌ}}{\text{ネ}}}\text{，}$$q_3={\displaystyle \frac{\text{ノ}}{\text{ハ}}}\text{，}$$q_4={\displaystyle \frac{\text{ヒ}}{\text{フ}}}$である．

【３】　$\mathrm{OA}=2\text{，}$$\mathrm{0C}=3\text{，}$$\mathrm{OD}=5$である直方体$\mathrm{OABC‐DEFG}$がある．線分$\mathrm{CG}$を$s:1-s$$\text{（}0<s<1\text{）}$に内分する点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{F}$を通る平面と直線$\mathrm{AE}$との交点を$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく．

(1)　線分$\mathrm{MN}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．このとき

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{\text{ハ}}{\text{ホ}}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{\text{マ}}{\text{ミ}}}\overrightarrow{c}+({\displaystyle \frac{\text{ム}}{\text{メ}}}s+{\displaystyle \frac{\text{モ}}{\text{ヤ}}})\overrightarrow{d}$

である．

(2)　線分$\mathrm{MN}$の中点を$\mathrm{Q}$とする．$s=s_0$のとき$\mathrm{MN}\perp \mathrm{DQ}$となる．このとき，$s_0={\displaystyle \frac{\text{ユ}}{\text{ヨ}}}$である．

(3)　線分$\mathrm{MN}$を$t:1-t$$\text{（}0<t<1\text{）}$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．また，線分$\mathrm{OA}$を$4:1$に外分する点を$\mathrm{I}\text{，}$線分$\mathrm{OC}$を$8:1$に内分する点を$\mathrm{J}$とし，四角形$\mathrm{OIHJ}$が長方形となるように点$\mathrm{H}$をとる．直線$\mathrm{DR}$が$\mathrm{H}$を通るとき，$\overrightarrow{\mathrm{DH}}=k\overrightarrow{\mathrm{DR}}$となる実数$k$がある．このとき

$k={\displaystyle \frac{\text{ラ}}{\text{リ}}}\text{，}$$s={\displaystyle \frac{\text{ル}}{\text{レ}}}\text{，}$$t={\displaystyle \frac{\text{ロ}}{\text{ワ}}}$

である．