2020　上智大学　文,法,総合人間科学部学部2月4日実施MathJax

【１】(1)　$m$を整数とする．$2$次方程式$z^2-mx+3m+1=0$が異なる$2$つの整数解をもつような$m$は全部で$\text{ア}$個ある．そのうち最小の$m$は$\text{イ}$であり，そのときの$2$つの解は$x=\text{ウ}\text{，}$$\text{エ}$である．ただし，$\text{ウ}<\text{エ}$とする．

【１】(2)　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$を用いて表される関数$f_n(x)=a_{n}x+b_n$が，以下の等式を満たす．

$f_1(x)=x+1\text{，}$$x^2{f}_{n+1}(x)=x^2-{\displaystyle {\int }_0^x}t{f}_n(t)\mathit{dt}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき

$a_n=\text{オ}{\left({\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}}}\right)}^n$

$b_n={\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}{\left({\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}}\right)}^n+{\displaystyle \frac{\text{シ}}{\text{ス}}}$

である．

【２】　$a$を実数とする．次の曲線$C$と直線$l$について考える．

$C\text{：}y=|x^2+3x|-|x^2-2|+1$

$l\text{：}y=ax+3$

(1)　$C$と$l$の共有点の個数が$2$個であるための必要十分条件は

$a=\text{セ}+\text{ソ}\sqrt{\text{タ}}$

である．このとき，共有点の$x$座標は小さい方から順に

$\text{チ}\sqrt{\text{ツ}}\text{，}$$\text{テ}+\text{ト}\sqrt{\text{ナ}}$

である．

(2)　$C$と$l$の共有点の個数が$3$個であるための必要十分条件は

$\text{ニ}+\text{ヌ}\sqrt{\text{ネ}}<a<\text{ノ}$

である．

(3)　$a=1$とする．このとき，$C$と$l$は$3$個の共有点をもち，それらの$x$座標は小さい方から順に$\text{ハ}\text{，}$$\text{ヒ}\text{，}$$\text{フ}$である．また，$C$と$l$で囲まれた部分の面積は

$\text{ヘ}+{\displaystyle \frac{\text{ホ}}{\text{マ}}}\sqrt{\text{ミ}}$

である．

【３】　$k$を実数とする．次の円$C$と直線$l$について考える．

$C\text{：}{x}^2+y^2-6x+4y+4=0$

$l\text{：}y=kx-4k+1$

(1)　$k$の値に関係なく，$l$は点$\mathrm{P}$$(\text{ム},\text{メ})$を通る．

(2)　$k={\displaystyle \frac{\text{モ}}{\text{ヤ}}}$または$k=\text{ユ}$のとき，$l$は$C$と接する．ただし，${\displaystyle \frac{\text{モ}}{\text{ヤ}}}<\text{ユ}$とする．

(3)　円$C$の中心を$\mathrm{O}\text{，}$$k={\displaystyle \frac{\text{モ}}{\text{ヤ}}}$のときの$l$と$C$の接点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PO}$と$C$の交点を$\mathrm{R}\text{，}$線分$\mathrm{PO}$の延長と$C$の交点を$\mathrm{S}$とする．面積$\mathrm{▵QOS}={\displaystyle \frac{\text{ヨ}}{\text{ラ}}}\sqrt{\text{リ}}$である．

(4)　点$\mathrm{Q}$を含まない弧$\mathrm{RS}$上に$2$点$\mathrm{T}\text{，}$$\mathrm{U}$を$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{T}\text{，}$$\mathrm{U}\text{，}$$\mathrm{S}$の順に並ぶようにとる．このとき，線分$\mathrm{TU}$の長さが$2\sqrt{2}$であり，直線$\mathrm{TU}$上に点$\mathrm{P}$があるとすると

$\mathrm{PU}=\sqrt{\text{ル}}+\sqrt{\text{レ}}\text{，}$$\mathrm{▵OPU}={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ロ}}+\sqrt{\text{ワ}}}{\text{ヲ}}}$

である．ただし，$\text{ル}<\text{レ}$かつ$\text{ロ}<\text{ワ}$とする．