2020　東京理科大学　経営学部B方式2月2日実施MathJax

【１】　赤球が$1$個，白球が$4$個，黒球が$5$個ある．ただし，同じ色の球は区別がつかないものとする．これらの球をすべて用いて並べるとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$1$列に並べる場合を考える．

(a)　並べ方は何通りあるかを求めなさい．

(b)　どの白球も隣り合わない並べ方は何通りあるかを求めなさい．

(c)　先頭と最後が白球になる並べ方は何通りあるかを求めなさい．

(2)　円周上に等間隔に並べる場合を考える．

(a)　円周に沿ってずらして一致する並び方は同じ並び方とみなすと，並べ方は何通りあるかを求めなさい．

(b)　(a)の並べ方のうち，円周を$2$等分するある直線に関して対称になる並べ方は何通りあるかを求めなさい．

【２】　数列$\{a_n\}$は

$a_1=1\text{，}$$a_2={\displaystyle \frac{1}{6}}\text{，}$$a_{n+2}={\displaystyle \frac{a_n{a}_{n+1}}{7a_n-12a_{n+1}}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定められる．次の問いに答えなさい．

(1)　すべての自然数$n$に対して次の式が成り立つような，実数の組$(\alpha ,\beta )$をすべて求めなさい．

${\displaystyle \frac{1}{a_{n+2}}}-{\displaystyle \frac{\alpha }{a_{n+1}}}=\beta ({\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}}-{\displaystyle \frac{\alpha }{a_n}})$

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．

【３】　座標平面上で，放物線$C_1\text{：}y=-p{(x-1)}^2+q$と放物線$C_2\text{：}y=2x^2$が点$(t,2t^2)$において同一の直線に接している．ただし，$p\text{，}$$q$は正の実数とし，$t$は$0<t<1$の範囲にあるものとする．次の問いに答えなさい．

(1)　$p\text{，}$$g$を$t$を用いて表しなさい．

(2)　放物線$C_1$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を$t$を用いて表しなさい．

(3)　$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，(2)で求めた面積$S$が最大となる$t$の値，および$S$の最大値を求めなさい．

【４】　座標空間に

$\mathrm{A}\text{：}(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}\text{：}(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{C}\text{：}(1,1,0)\text{，}$$\mathrm{D}\text{：}(0,1,0)$

${\mathrm{A}}^{\prime }\text{：}(0,0,1)\text{，}$${\mathrm{B}}^{\prime }\text{：}(1,0,1)\text{，}$${\mathrm{C}}^{\prime }\text{：}(1,1,1)\text{，}$${\mathrm{D}}^{\prime }\text{：}(0,1,1)$

を頂点とする$1$辺の長さが$1$の立方体がある．$s$を$0\leqq s\leqq 1$を満たす実数とするとき，辺$\mathrm{AB}$上に$(s,0,0)$を座標とする点$\mathrm{P}$をとる．また，辺${\mathrm{D}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$上に$(1-{\displaystyle \frac{2}{3}}s,1,1)$を座標とする点${\mathrm{P}}^{\prime }$をとる．このとき次の問いに答えなさい．

(1)　$u$を$0\leqq u\leqq 1$を満たす実数とするとき，平面$z=u$と線分$\mathrm{P}{\mathrm{P}}^{\prime }$の交点$\mathrm{Q}$の座標を求めなさい．

(2)　線分$\mathrm{P}{\mathrm{P}}^{\prime }$を$z$軸のまわりに回転させたときにできる図形と$2$つの平面$z=0\text{，}$$z=1$で囲まれる立体の体積$V$を$s$を用いて表しなさい．

(3)　点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$を動くとき，$V$が最小になるときの$s$の値を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　$13$個の値$y_1\text{，}$$y_2\text{，}$$\cdots \text{．}$$y_{13}$からなるデータの平均値は$10$である．ここから，$y_{13}$を除いた$12$個の値$y_1\text{，}$$y_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$y_{12}$からなるデータの平均値は$8$であり，分散は$20$である．実数$x$を変数とする関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \sum _{i=1}^{13}}{(y_i-x)}^2$

とするとき，$f(x)$の最小値を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(2)　等差数列$\{a_n\}$は，すべての自然数$m\text{，}$$n$で

${\displaystyle \frac{a_1+a_2+\cdots +a_m}{a_1+a_2+\cdots +a_n}}={\displaystyle \frac{m^2}{n^2}}$

を満たすとする．このとき，${\displaystyle \frac{a_m}{a_n}}$の値を $m$と$n$を用いて表しなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(3)　$a={\log }_{81}2\text{，}$$b={\log }_{27}(2^x-1)\text{，}$$c={\log }_9(2^x+3)$とするとき，$2a-3b+c=0$となるような$x$を求めなさい．なお，${\log }_{k}N$は$k$を底とする$N$の対数である．

【２】　次の文章中の空欄$\text{(a)}\text{〜}$$\text{(g)}$に，それぞれの解答群からあてはまるものを選んで解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．たとえば，解答が($07$)のときには，十の位に$0\text{，}$一の位に$7$をマークしなさい．ただし，選択肢「その他」以外にあてはまるものがない場合には，「その他」を選択しなさい．なお，同じ選択肢を$2$回以上使うこともできる．

　座標平面において，$2$つの曲線

$y=-x^2+2x+1\cdots \text{①}$

$y=-x^2+6x-4\cdots \text{②}$

と$4$点$\mathrm{A}$$(0,5)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,-2)\text{，}$$\mathrm{C}$$(4,-2)\text{，}$$\mathrm{D}$$(4,5)$がある．$2$つの曲線$\text{①}$と$\text{②}$の交点を$\mathrm{E}$とする．

(1)　交点$\mathrm{E}$の座標は$\mathrm{E}$$(\text{(a)})$である．

(2)　$2$つの曲線$\text{①}$と$\text{②}$の共通接線の方程式を$y=px+q$とするとき，$p$と$q$の値は$(p,g)=(\text{(b)})$となる．この接線と曲線$\text{①}$との接点を$\mathrm{F}\text{，}$この接線と曲線$\text{②}$との接点を$\mathrm{G}$とするとき，その座標は$\mathrm{F}$$(\text{(c)})\text{，}$$\mathrm{G}$$(\text{(d)})$である．また，この接線と直線$\mathrm{AD}$との交点を$\mathrm{H}$とするとき，その座標は$\mathrm{H}$$(\text{(e)})$である．

(3)　線分$\mathrm{AB}\text{，}$線分$\mathrm{AD}$および(2)で求めた共通接線$y=px+q$で囲まれる図形の面積は$\text{(f)}$である．また，線分$\mathrm{AB}\text{，}$線分$\mathrm{BC}\text{，}$曲線$\text{①}$および直線$x=t$で囲まれる図形の面積は$\text{(g)}$である．ここで，$t$は交点$\mathrm{E}$の$x$座標である．

【３】　次の文章中の空欄$\text{(a)}\text{〜}$$\text{(k)}$に，それぞれの解答群からあてはまるものを選んで解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，選択肢「その他」以外にあてはまるものがない場合には，「その他」を選択しなさい．なお，同じ選択肢を$2$回以上使うこともできる．

　ある商品の一日ごとの売れ行きは完売または売れ残り有りのいずれかの状態である．完売した日の翌日も完売する確率は${\displaystyle \frac{7}{10}}$であり，翌日に売れ残り有りの状態となる確率は${\displaystyle \frac{3}{10}}$である．一方，売れ残りがあった日の翌日に完売する確率は${\displaystyle \frac{2}{5}}$であり，翌日も売れ残り有りの状態となる確率は${\displaystyle \frac{3}{5}}$である．第$n$日目に商品が完売する確率を$P_n\text{，}$第$n$日目に商品が売れ残る確率を$Q_n$とする．

(1)　$P_1={\displaystyle \frac{2}{3}}$とする．$n=1$から$n=4$までの$4$日間の中で，売れ残り有りの状態が$3$日間以上連続する確率は$\text{(a)}$である．

(2)　$n=2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対して，

$P_n=\text{(b)}{P}_{n-1}+\text{(c)}{Q}_{n-1}$

$Q_n=\text{(d)}{P}_{n-1}+\text{(e)}{Q}_{n-1}$

が成立する．これより，数列$\{P_n\}$の漸化式は

$P_n=\text{(f)}{P}_{n-1}+\text{(g)}$

である．

(3)　$P_1=1$とする．数列$\{P_n\}$の一般項は$\text{(h)}$である．

(4)　$Q_n$の値が$n$によらず一定であるとき，その値は$\text{(}\text{i}\text{)}$である．

(5)　$P_1=0$とする．$n$が自然数の範囲で動くとき，$|P_n-Q_n|$を最小とする$n$は$\text{(}\text{j}\text{)}$である．

(6)　$P_1={\displaystyle \frac{5}{7}}$とする．自然数$N$に対して，${\displaystyle \frac{P_1+P_2+\cdots +P_N}{N}}$は$\text{(k)}$である．