2020　東京理科大学　理工学部B方式2月3日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\text{ア}$から$\text{ミ}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\text{ア}$などは既出の$\text{ア}$を表す．

(1)　数列$\{a_n\}$は

$\{\begin{array}{ll}{a}_1={\displaystyle \frac{1}{12}}& \\ {\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}}={\displaystyle \frac{1}{a_n}}+4n+8& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

を満たしているとする．$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}$とおいて，$b_n$を求めると

$b_n=\text{ア}{n}^2+\text{イ}n+\text{ウ}$

である．したがって，

$a_n={\displaystyle \frac{1}{\text{ア}{n}^2+\text{イ}n+\text{ウ}}}$

となる．このとき，

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n={\displaystyle \frac{\text{エ}}{\text{オ}}}$

である．

【１】　次の文章中の$\text{ア}$から$\text{ミ}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\text{ア}$などは既出の$\text{ア}$を表す．

(2)　自然数$a\text{，}$$b$$\text{（}a<b\text{）}$に対し

$U=\{x|a\leqq x\leqq b\text{，}x\text{は自然数}\}$

を全体集合とし，$U$の部分集合

$A=\{x|a\leqq x\leqq b\text{，}x\text{は}3\text{の倍数}\}$

$B=\{x|a\leqq x\leqq b\text{，}x\text{は}8\text{の倍数}\}$

$C=\{x|a\leqq x\leqq b\text{，}x\text{は素数}\}$

$D=\{x|a\leqq x\leqq b\text{，}x\text{は奇数}\}$

を考える．また$U$の部分集合$F$に対し，$\bar{F}$で$F$の補集合を表し，$n(F)$は$F$の要素の個数を表すとする．

(a)　$a=50\text{，}$$b=100$のとき，$n(A)=\text{カ}\text{キ}\text{，}$$n(B)=\text{ク}\text{，}$$n(A\cap B)=\text{ケ}\text{，}$$n(A\cup B)=\text{コ}\text{サ}\text{，}$$n(A\cap \bar{B})=\text{シ}\text{ス}$である．

(b)　$a=\text{セ}\text{，}$$b=\text{ソ}\text{タ}$のとき，$n(C)=n(D)=\text{チ}$かつ$n(\bar{D})=7$となる．また，このとき$C$の部分集合で要素の個数が$2$となるものは全部で$\text{ツ}\text{テ}$個ある．

【１】　次の文章中の$\text{ア}$から$\text{ミ}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\text{ア}$などは既出の$\text{ア}$を表す．

(3)　$f(x)\text{，}$$g(x)$はすべての実数$x$で微分可能な関数とする．また，$g(x)$は常に$g(x)>0$であるとする．さらに，

$f(0)=0\text{，}$$f^{\prime }(0)={\displaystyle \frac{3}{4}}\text{，}$$f(1)={\displaystyle \frac{5}{7}}\text{，}$$f^{\prime }(1)={\displaystyle \frac{3}{7}}$

$g(0)=1\text{，}$$g^{\prime }(0)={\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}$$g(1)={\displaystyle \frac{7}{5}}\text{，}$$g^{\prime }(1)={\displaystyle \frac{1}{5}}$

を満たすとする．ただし，$f^{\prime }(x)\text{，}$$g^{\prime }(x)$はそれぞれ$f(x)\text{，}$$g(x)$の導関数を表す．このとき次の極限値を求めよ．ただし，$\log$は自然対数を表す．

(a)　$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{g(f(h))-1}{h}}={\displaystyle \frac{\text{ト}}{\text{ナ}\text{ニ}}}$

(b)　$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\log (g(h))}{h}}={\displaystyle \frac{\text{ヌ}}{\text{ネ}}}$

(c)　$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(1+2h)g(1+2h)-1}{h}}={\displaystyle \frac{\text{ノ}\text{ハ}}{\text{ヒ}\text{フ}}}$

(d)　$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin (f(3h))}{h}}={\displaystyle \frac{\text{ヘ}}{\text{ホ}}}$

(e)　$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{{12}^{g(h)}-12}{h}}=\text{マ}\log 2+\text{ミ}\log 3$

【２】　座標平面上に，方程式$x^2+y^2=4$の表す円$C$と，動点$\mathrm{P}$$(t,-t-2)$$\text{（}t\geqq -4\text{）}$がある．

(1)　$t=-4$のとき，$\mathrm{P}$を通る$C$の$2$本の接線の方程式をそれぞれ求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$を通る$C$の接線の本数が，$-4\leqq t<t_1$では$2\text{，}$$t=t_1$では$1$となるとする．$t_1$の値を求めよ．

　以下，$t_1$は(2)で求めたものとし，$-4\leqq t<t_1$とする．

(3)　$\mathrm{P}$を通る$C$の$2$本の接線の接点を結ぶ直線$l$の方程式を，$t$を用いて表せ．

(4)　(3)の直線$l$は，$t$の値によらず定点$\mathrm{Q}$を通る．$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

【３】　定数$k$$\text{（}k>0\text{）}$に対し，関数$f(x)$を定積分

$f(x)={\displaystyle {\int }_{\mathrm{o}}^k}|e^t-x|\mathit{dt}$

により定義する．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　$x<1$のとき，上の定積分を計算し，$f(x)$を$x$と$k$を用いて表せ．

(2)　$1\leqq x\leqq e^k$のとき，上の定積分を計算し，$f(x)$を$x$と$k$を用いて表せ．

(3)　区間$1\leqq x\leqq e^k$における$f(x)$の最小値を$k$を用いて表せ．

(4)　(3)で求めた最小値が$1$となる$k$の値を求めよ．

(5)　$k$を(4)で求めた値とする．このとき，座標平面において，曲線$y=f(x)\text{，}$$x$軸，直線$x=1\text{，}$および，直線$x=e^k$で囲まれた部分の面積を求めよ．