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2020-13442-0301
2020 東京理科大学 理工学部B方式
建築,電気電子情報工,機械工,先端化学,土木工学科
2月6日実施
(1)〜(3)で配点40点
易□ 並□ 難□
【1】 次の文章中の ア から ム までに当てはまる数字 0 〜 9 を求めて,解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい.ただし,分数は既約分数として表しなさい.なお, サ などは既出の サ を表す.
(1) x≧0 で定義された関数 f⁡ (x) を
f⁡(x )=x⁢e -x2+ 2⁢2⁢x
で定める.ただし, e は自然対数の底とする.
f′⁡( x) =(- ア ⁢x 2+ イ ⁢ ウ ⁢x+ エ ) ⁢e-x2 +2⁢2 ⁢x
なので f⁡( x) は
x= オ+ カ キ
において最大値をとる.ただし, f′ ⁡(x ) は f⁡( x) の導関数を表す.
2020-13442-0302
(2) 数列 { an} を,初項 a1 =5, 公比 3 の等比数列とし,
Sn= ∑k=1 nak (n= 1,2 ,3 ,⋯ )
とおく.また,数列 {b n} を
b1=1 , b2=2 , bn+2 =6⁢bn +1+27⁢ bn (n= 1,2 ,3 ,⋯ )
で定める.
(a) Sn=( ク n-1 )⋅ ケ コ となる.
(b) 数列 {b n} は
bn+2 + サ⁢ bn+1= シ ⁢ (b n+1+ サ ⁢bn ),
bn+2 - シ ⁢b n+1=- サ ⁢( bn+1 - シ ⁢b n)
を満たす.よって一般項は
bn = シn ⋅ ス セ ソ タ -(- サ )n ⋅ チ ツ テ
となる.
(c) 第 n 項が b nSnm である数列が収束するような自然数 m のうち最小のものは m= ト である.また,そのとき limn →∞ bnSn ト = ナ ニ ヌ ネ となる.
2020-13442-0303
(3) a, b を自然数とし, n=162⁢a 5+72⁢b 5 とおく. a が 2 でちょうど s 回, b が 2 でちょうど t 回割り切れるとする. 162=2⋅3 ノ , 72=2 ハ ⋅3 ヒ なので 162⁢a 5 は 2 でちょうど ( フ ⁢s+ ヘ ) 回, 72⁢b5 は 2 でちょうど ( ホ ⁢t + マ ) 回割り切れる.よって, n が 2 でちょうど 13 回割り切れるための必要十分条件は s≧ ミ かつ t= ム である.
2020-13442-0304
配点30点
【2】 放物線 y=x 2-2⁢x を C , 直線 y=x を l とする. C と l の交点のうち, x 座標が正となるものを P とする. C と l が囲む部分を A とし, A を y 軸の周りに 1 回転して得られる回転体の体積を V1 , A を x 軸の周りに 1 回転して得られる回転体の体積を V2 とする.
(1) P の座標を求めよ.
(2) A の面積を求めよ.
(3) V1 を求めよ.
(4) V2 を求めよ.
2020-13442-0305
30点
【3】 a, b, c を正の実数とし,座標空間において, 3 点 A (a,0, 0), B (0,b, 0), C (0,0, c) をとる.三角形 ABC の面積を S とおく.
(1) cos⁡∠BAC と S を,それぞれ a , b, c を用いて表せ.
以下では. a=1 sin⁡θ , b=1 sin⁡(θ+ π4 ) , c=1 cos⁡(θ+ π4 ) を満たすものとする.ただし, θ は
(*) {- π<θ≦π sin⁡θ>0 sin⁡(θ+ π4 )>0 cos⁡(θ+ π4 )>0
を満たす範囲を動く.
(2) 条件(*)を満たす θ の範囲を求めよ.
(3) t=a2 とおく. S2 を t についての分数式で表せ.
(4) S が最小となるときの a2 の値を求めよ.