2020　東京理科大学　理学部B方式2月5日実施MathJax

【１】　次の(1)から(3)において，$$内のカタカナおよびひらがなにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$$は$2\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数を，$$は$3$桁の数を，$$は$6$桁の数を，それぞれ表すものとする．また，$\text{ア}$などが$2$度以上現れる場合，$2$度目以降は$\text{ア}$のように網掛けで表記するものとする．なお，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形で表すこと．

(1)(a)　$1$回目は$3$枚のコインを同時に投げ，$2$回目以降は直前の回で表が出た枚数と同じ枚数のコインを同時に投げる．すべて裏が出た回で終了とする．このとき，$2$回目，$3$回目で終了となる確率は，それぞれ

${\displaystyle \frac{\text{ア}\text{イ}}{2^{\text{ウ}}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\text{エ}\text{オ}\text{カ}}{2^{\text{キ}}}}$

である．

(b)　$1$回目は$3$枚のコインを同時に投げ，$2$回目以降は直前の回で表が出た枚数の$2$倍の枚数のコインを同時に投げる．すべて裏が出た回で終了とする．このとき，$2$回目，$3$回目で終了となる確率は，それぞれ

${\displaystyle \frac{\text{ク}\text{ケ}}{2^{\text{コ}}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\text{サ}\text{シ}\text{ス}\text{セ}\text{ソ}\text{タ}}{2^{\text{チ}\text{ツ}}}}$

である．

【１】　次の(1)から(3)において，$$内のカタカナおよびひらがなにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$$は$2\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数を，$$は$3$桁の数を，$$は$6$桁の数を，それぞれ表すものとする．また，$\text{ア}$などが$2$度以上現れる場合，$2$度目以降は$\text{ア}$のように網掛けで表記するものとする．なお，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形で表すこと．

(2)　$\alpha$は${\alpha }^2-\alpha -1=0$をみたすような正の実数とする．

(a)　すべての自然数$n$に対して，${\alpha }^n=a_n\alpha +b_n$をみたすような整数$a_n\text{，}$$b_n$が存在する．たとえば，

$a_3=\text{テ}\text{，}$$b_3=\text{ト}\text{，}$$a_4=\text{ナ}\text{，}$$b_4=\text{ニ}\text{，}$$a_5=\text{ヌ}\text{，}$$b_5=\text{ネ}$

である．このとき，すべての自然数$n$について，

$a_{n+2}=\text{ノ}{a}_{n+1}+\text{ハ}{a}_n$

が成り立つ．

(b)　すべての自然数$n$に対して，${\alpha }^n=p_n+q_n\sqrt{5}$をみたすような有理数$p_n\text{，}$$q_n$が存在する．ここで，$p_n\text{，}$$q_n$がともに整数であるような自然数$n$の値を小さい方から順に$4$つ挙げると$\text{ヒ}\text{，}$$\text{フ}\text{，}$$\text{へ}\text{，}$$\text{ホ}\text{マ}$となり，

${\alpha }^{\text{ヒ}}=\text{ミ}+\text{ム}\sqrt{5}$

${\alpha }^{\text{フ}}=\text{メ}+\text{モ}\sqrt{5}$

${\alpha }^{\text{ヘ}}=\text{ヤ}\text{ユ}+\text{ヨ}\text{ラ}\sqrt{5}$

${\alpha }^{\text{ホ}\text{マ}}=\text{リ}\text{ル}\text{レ}+\text{ロ}\text{ワ}\sqrt{5}$

である．また，$p_n\text{，}$$q_n$がともに整数であるような$100$以下の自然数$n$は，全部で$\text{ヲ}\text{ン}$個ある．

【１】　次の(1)から(3)において，$$内のカタカナおよびひらがなにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$$は$2\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数を，$$は$3$桁の数を，$$は$6$桁の数を，それぞれ表すものとする．また，$\text{ア}$などが$2$度以上現れる場合，$2$度目以降は$\text{ア}$のように網掛けで表記するものとする．なお，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形で表すこと．

(3)　$i$は虚数単位とする．

(a)　楕円${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1$の焦点は$2$点$(-\sqrt{\text{あ}},0)\text{，}$$(\sqrt{\text{い}},0)$である．また，この楕円で囲まれた図形の面積は$\text{う}\pi$である．

(b)　複素数$z$が$|2z-1-\sqrt{2}i|+|2z+1+\sqrt{2}i|\leqq 4$の範囲を動くとき，複素数平面で点$z$が描く図形の面積は${\displaystyle \frac{\text{え}}{\text{お}}}\pi$である．

【２】　$2$以上の自然数$n$に対して，関数$f_n(x)\text{，}$$g_n(x)$を

$f_n(x)=n{x}^{n-1}\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}}x\text{，}$$g_n(x)=n{x}^{n-1}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2}}x$

と定める．また，

$a_n={\displaystyle {\int }_0^1}{f}_n(x)\mathit{dx}\text{，}$$b_n={\displaystyle {\int }_0^1}{g}_n(x)\mathit{dx}$

とする．

(1)　$a_2$の値を求めよ．

(2)　$a_n$を$a_{n+2}$を用いて表せ．また，$b_n$を$b_{n+2}$を用いて表せ．

(3)　 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a\text{，}$$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=b$とする．

(a)　$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

(b)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n-a}{b_n-b}}$を求めよ．また，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n-a}{{(b_n-b)}^2}}$を求めよ．

【３】　平面上の異なる$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}⫽\overrightarrow{\mathrm{BC}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|$をみたすとする．また，$\mathrm{\angle ACB}$の二等分線について，直線$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{D}\text{，}$直線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，さらに$\left|\overrightarrow{a}\right|=\alpha \text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=\beta$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=p\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$とするとき，$p$を$\alpha \text{，}$$\beta$の式で表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=s\overrightarrow{a}$とするとき，$s$を$\alpha \text{，}$$\beta$の式で表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=t\overrightarrow{b}$とするとき，$t$を$\alpha \text{，}$$\beta$の式で表せ．

(4)　内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}$の値を求めよ．また，四角形$\mathrm{ACBD}$の面積を$\alpha \text{，}$$\beta$の式で表せ．