2020　東京理科大学　理学部B方式2月8日実施MathJax

【１】　次の$\text{ア}$から$\text{ロ}$において，$$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$$は$1$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$$は$2$桁の数，$$は$3$桁の数を表すものとする．また，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形で表し，根号を含む値は根号の中の自然数が最小になる形で表すこと．

(1)　$p\text{，}$$q$は素数，$n$は自然数とし，$p<q<n$を満たしているとする．$5$で割ると$1$余るようなある整数$k$に対し，

$(1-{\displaystyle \frac{p}{n}})(1-{\displaystyle \frac{q}{n}})={\displaystyle \frac{k}{n^2}}$

が成り立つとする．$n=13$のとき，この条件を満たす$p\text{，}$$q$の組$(p,g)$は，$(\text{ア},\text{イ})$と$(\text{ウ},\text{エ}\text{オ})$である．さらに$n=19$のとき，この条件を満たす$p\text{，}$$q$の組は，$\text{カ}$組あり，このうち$p$と$q$の和が最小となる$(p,g)$は$(\text{キ},\text{ク}\text{ケ})$であり，最大となるのは$(\text{コ}\text{サ},\text{シ}\text{ス})$である．

【１】　次の$\text{ア}$から$\text{ロ}$において，$$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$$は$1$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$$は$2$桁の数，$$は$3$桁の数を表すものとする．また，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形で表し，根号を含む値は根号の中の自然数が最小になる形で表すこと．

(2)　以下の問いに答えよ．

(a)　右の図のように，東西に最大で$3$区画連続した道があり，南北に最大で$3$区画連続した道がある街がある．$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで最短距離で行く経路のうち，$2$区画以上連続して東に進まない経路の選び方は全部で$\text{セ}\text{ソ}$通りある．

(b)　$1$から$7$までの異なる整数が$1$つずつ書かれた$7$枚のカードがある．これらの$7$枚のカードから$3$枚のカードを取り出すとき，取り出されたカードのうちのどの$2$枚についても，カードに書かれた数の差が$2$以上となるような取り出し方は全部で$\text{タ}\text{チ}$通りある．

(c)　$1$から$16$までの異なる整数が$1$つずつ書かれた$16$枚のカードがある．これらの$16$枚のカードから$7$枚のカードを取り出すとき，取り出されたカードのうちのどの$2$枚についても，カードに書かれた数の差が$2$以上となるような取り出し方は全部で$\text{ツ}\text{テ}\text{ト}$通りある．

(d)　$1$から$16$までの異なる整数が$1$つずつ書かれた$16$枚のカードがある．これらの$16$枚のカードから$7$枚のカードを取り出すとき，取り出されたカードのうちのどの$2$枚についても，カードに書かれた数の差が$2$以上となり，取り出されたカードに書かれた数の差の最大値が$13$以上となるような取り出し方は全部で$\text{ナ}\text{ニ}\text{ヌ}$通りある．

【１】　次の$\text{ア}$から$\text{ロ}$において，$$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$$は$1$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$$は$2$桁の数，$$は$3$桁の数を表すものとする．また，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形で表し，根号を含む値は根号の中の自然数が最小になる形で表すこと．

(3)　座標平面において，曲線$y=x^2$と中心$(0,{\displaystyle \frac{3}{4}})$の円が$2$つの異なる共有点で接しているとし，それらの共有点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．ただし，曲線と円が接するとは，曲線と円が共有点で共通の接線をもつことである．この円の方程式は，

$x^2+{(y-{\displaystyle \frac{3}{4}})}^2={\displaystyle \frac{\text{ネ}}{\text{ノ}}}$

である．弧$\mathrm{AB}$と曲線$y=x^2$で囲まれる図形を$C_1$とする．$C_1$の面積は，

${\displaystyle \frac{\text{ハ}}{\text{ヒ}\text{フ}}}-{\displaystyle \frac{\text{ヘ}}{\text{ホ}}}\pi$

である．ただし，円周上の$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$に対し，弧$\mathrm{PQ}$とは短い方の弧をさす．曲線$y=4x^2$と中心$(0,a)\text{，}$半径$r$の円が$2$つの異なる共有点で接しているとし，その共有点を$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$とする．弧$\mathrm{CD}$と曲線$y=4x^2$で囲まれる図形を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$が相似であるとき，

$a={\displaystyle \frac{\text{マ}}{\text{ミ}\text{ム}}}\text{，}$$r={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{メ}}}{\text{モ}}}$

であり，$C_2$の面積は，

${\displaystyle \frac{\text{ヤ}}{\text{ユ}\text{ヨ}\text{ラ}}}-{\displaystyle \frac{\text{リ}}{\text{ル}\text{レ}\text{ロ}}}\pi$

である．

【２】　$a$は正の実数とする．座標平面における曲線$C_1$を，

$C_1\text{：}y=a{x}^2+1$

とする．$C_1$上の点$(1,a+1)$における接線を$l_1$とし，曲線$C_1$の接線のうち$l_1$と直交するものを$l_2$とする．さらに，直線$l_1$と直線$l_2$の交点の$x$座標を$t$とする．

(1)　以下の問いに答えよ．

(a)　直線$l_1\text{，}$直線$l_2$の方程式を求めよ．

(b)　曲線$C_1\text{，}$直線$l_1$および直線$x=t$によって囲まれる部分の面積を$S_1$とするとき，${\displaystyle \frac{S_1}{a}}$を$t$を用いて表せ．

(c)　$a^2$を$t$を用いて表せ．また，曲線$C_1\text{，}$直線$l_1$および直線$l_2$によって囲まれる部分の面積を$S_2$とするとき，${\displaystyle \frac{S_2}{a}}$を$t$を用いて表せ．

(2)　$b$を実数とし，曲線$C_2$を，

$C_2\text{：}y=-a{(x-2)}^2+b$

とする．

(a)　曲線$C_1$と曲線$C_2$の共有点の個数を求めよ．

(b)　直線$l_1$が曲線$C_2$に接するとき，$b$を$a$を用いて表せ．

(c)　直線$l_1$が曲線$C_2$に接するとする．$s>2$とし，点$(s,-a{(s-2)}^2+b)$における曲線$C_2$の接線$l_3$を考える．曲線$C_2\text{，}$直線$l_1$および直線$l_3$によって囲まれる部分の面積$S_3$が，(1)(c)における$S_2$と等しくなるとき，$s$を$a$を用いて表せ．

【３】　$t>1$とする．座標平面において，連立不等式

$0\leqq x\leqq e-1\text{，}$$1\leqq y\leqq t\log (x+1)$

の表す領域の面積を$S_1(t)$とし，連立不等式

$0\leqq x\leqq e-1\text{，}$$0\leqq y\leqq t\log (x+1)\text{，}$$0\leqq y\leqq 1$

の表す領域の面積を$S_2(t)$とする．ただし，$\log$は自然対数，$e$は自然対数の底とする．以下の問いに答えよ．

(1)　曲線$y=t\log (x+1)$と直線$y=1$の交点の$x$座標を求めよ．

(2)　$S_1(t)$を求めよ．

(3)　$S_2(t)$を求めよ．

(4)　$\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_1(t)-S_2(t)+t}{t-1}}$を求めよ．